文档介绍：用Maple解决
对于倾斜屋顶采用何种结构进行有组织排水, 是民用建筑一个普通而实际的问题。在民用建筑中一般是在房顶的边缘安装一个檐槽和一个竖立的排水管来排水, 这种排水方式的可行性探讨实际上是解决水槽的容量在单位时间内能否足以排出雨水的问题。构建了这种排水方式的微分方程模型,运用Maple对设计方案进行了可行性论证, 提出了屋檐水槽模型的优化方案。
一:问题的背景与提出
为了雨天出入方便, 房屋管理部门想在房顶边缘安装一个檐槽。现在有一个公司想承接这项业务,并承诺: 提一种新型的可持久的檐槽, 不管天气如何都能排掉房顶的雨水。房屋管理部门希望检验公司的承诺能否实现。简来说, 从屋脊到屋檐的房顶可以看成是一个12 m 长,6 m 宽的矩形平面, 房顶与水平方向的倾斜角度要视具体的房屋而定,通常在20~ 50度,它包括一个横截面为半圆形( ) 的水槽和一个竖直的排水管(10 cm) 。图1 所示。图1 屋檐水槽连接示意
二:模型假设
1:合理假设 a:降雨分:布均匀并以垂直降落, 并且直接落在房顶上;b:所有落在房顶上的雨水迅速流入水槽中;c:雨水不从水槽中溅出; d:排水管道顺畅, 没有任何障碍或阻塞; e:。
2:符号说明笔者列出与问题有关的因素及符号说明(表1)。
三:建立模型
参照图1, 根据速度平衡的原理, 对于房顶排水系统有:水槽中水的流量的变化率= 雨水的流入流量- 排水流出的流量。即Vc(t)= Q1- Q0,这里Q1、Q0 分别是单位时间流入水槽和从水槽流出的雨水流量。房顶雨水的流动情况, 如图2 所示。房顶的面积是bd, 由于房顶是倾斜的, 根据合理假设(1), 实际受雨的水平面积应为bdcosA, 房顶上雨水的流量就是r(t) bdcosA,雨水的流动是沿倾斜的房顶向下的, 从而流入水槽的流量应该是它在铅垂方向的分量, 直接落入水槽中的雨形成的水的流量r(t)
π, 即Q1= r( t) bdcosasina+r(t)π。
水槽中水的深度h< a 时的状况如图3 所示,槽中水的体积为:
有图3有: cos
有
sin2=2(a-h)
把(3)式代入(1)式得:
V(t)=a
下面运用maple对(4)式中t 求导[用v(t)表示]:
根据能量守恒原理有:
这样就得到模型:
四:模型的求解与分析
这是一个表达式比较复杂的微分方程的模型, 直接求解很困难, 因此, 笔者通过求它的数值解来进行分析讨论。不妨取一组数值: a= m, b= 6 m,
d= 12 m,
g= m/s^2,
A= 0. 002 5πm2,
A=π/6,
h(0) = m(假设槽内有一些积水) 。
下面,运用Maple求( 7)的数值解。
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针对房屋管理部门的要求,笔者考虑两种情况:
(1) r( t)= 常数。先讨论水槽的深度趋于一个低于0. 075m 的稳定值, 即= 0。
由此得到, 当r= 305时,水不溢出; 当r> 305时, 水溢出。下面, 笔者运用maple 对这一结论作进一步分析。不妨取r= 21、0. 000 305、 31 m/s 分别代入方程eq 中求其数值解, 并作出h(t) 的图形(图4~ 6)。
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由图4 得知,r= 21 m/ s, h 为t 的增函数, h 的最大值在0. 035 m 附近; 由图5 得知, r= 305 m/s, h 为t的增函数, h 的最大值为0. 074 m 附近; 由图6 得知, r=0. 000 31 m/s, h 为t 的增函数, h m。
由于各地具体情况不同,各地气象预报部门对于当地各类降水的标准也有些自己的规定。一般而言, 当地气象部门规定24 h 降水量在60 mm 以上的雨为特大暴雨。对于r(t)= 常数这种情形, r> 305 m/s 的强降雨机率几乎为0,因此,这个公司的承诺是能兑现的。
(2) r( t)为周期函数,不妨设为正弦函数,即:
这表明下雨过程是在60s内发生的一个短促的强震雨行为,,由方程eq得到如下的微分方程:
同理,运用上面的数值解法, 可得到h(t)的图7。
从图7 可以看出, h(t)的最大值不会超过0. 075 m, 因此,对于第2 种情形, 水槽的水也不会出现溢出的情况, 这个公司的承诺可以兑现。
五:模型的优化与改进
基于长时间特大暴雨的考虑, 可做以下两种改进: