文档介绍：第三章中值定理与导数的应用
一、知识脉络
拉格朗日定理
罗尔定理
柯西定理
泰勒公式
推广
推广
推
广
特殊
特殊
特殊
二、重点与难点
:拉格朗日中值定理,函数增调区间、函数的凹凸区间,求函数的极值,求具体问题的最大最小值。
:柯西定理、泰勒展式、不等式证明、函数作图。
三、问题与分析
、拉格朗日定理与柯西定理应注意的问题:
①洛尔定理是一个函数满足3条,拉格朗日定理一个函数满足2条,柯西定理是两个函数满足2条,才有相应结论;
②定理的条件是充分的,但不是必要的;
③三个定理都是存在性定理,只肯定了有存在,而未指出如何确定该点。
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①罗必塔法则仅仅用于型和型未定式;
②如果不存在(不包括),不能断言不存在,只能说明罗必塔法则在此失效,应采用其它方法求极限;
③,,,,也叫未定型,必须转化为型或型之后,方可用罗必塔法则求极限;
思路“:型转化为或型;
可通分转化为型或型;
型转化为,其中指数是型;
型转化为,其中数是;
型转化为,其中指数是型。
④罗必塔法则求极限与其它方法求极限在同一题中可交替使用;
⑤有时要连续用几次洛必塔法则,每一次都要验证是否是型或型。
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①如果在某个区间内只有有限个点处等于零,在其它点处均为正(或负)时,则函数在该区间内仍为单调增加(或单调减少);
②求单调区间的步骤:先令,求出驻点与不可导点,这样的点将定义域分成了几个区间;再在每个区间内验证的符号,若为正,则单增,若为负,则单减。
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①函数极值是一个局部性的概念,它只与极值点邻近的所有点的函数值相比较是大还是小,并不是说它在定义区间上是最大或最小。因此一个函数可能存在其极大值小于极小值的情形;
②求函数极值的步骤:先求的解以及不存在的点,这些点是可疑的极值点;其次,可疑极值点将的定义域分成了几个区间,在每个区间考察的符号;最后确定极值点;
③极值点与极值是两个不同的概念。
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①极值点是函数在一点附近函数值的大小比较,是局部性质,而最大值最小值是在区间上的性质;
②最值在区间的端点和极值点上产生。所以确定最大值最小值的步骤为:首先求出定义域;然后求出,求出可疑点;最后比较可疑点的函数值与边界处的函数值。
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①用一阶导数确定单调区间,用二阶导数确定凹凸区间及拐点,确定拐点时不但需要,而且还要在该点的左右变号;
②拐点一定是坐标形式的点,拐点的表达与极值点的表达不同,拐点是曲线上的某一点。
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①函数的图形不一定有渐近线;
②渐近线分为水平渐近线,垂直渐近线和斜渐近线。
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①麦克劳林展开是特殊的泰勒展式;
②用关于的 次多项式近似表示函数时,一定有一个余项,该余项即误差一定是的高阶无穷小量;
③应该熟记一些常用的泰勒展式。
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①利用单调性;
②利用中值定理
关键在于构造一个函数,这就