文档介绍：高一数学立体几何初步期末复习
教学目的
1. 复习《立体几何初步》的相关知识及基本应用
2. 掌握典型题型及其处理方法
教学重点、难点
《立体几何初步》的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法
知识分析
1. 多面体的结构特征
对于多面体的结构要从其反应的几何体的本质去把握,棱柱、棱锥、棱台是不同的多面体,但它们也有联系,棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台;棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台,因此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个公式。
2. 旋转体的结构特征
旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的,一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转生成的,从而可掌握旋转体中各元素的关系,也就掌握了它们各自的性质。
3. 表面积与体积的计算
有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算,应以公式法为基础,充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素。
4. 三视图与直观图的画法
三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式,,同样由三视图可以想象出空间几何体的形状,两者之间可以相互转化。
5. 直线和平面平行的判定方法
(1)定义:;
(2)判定定理:;
(3)线面垂直的性质:;
(4)面面平行的性质:。
6. 线线平行的判定方法
(1)定义:同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线;
(2)公理4:;
(3)平面几何中判定两直线平行的方法;
(4)线面平行的性质:;
(5)线面垂直的性质:;
(6)面面平行的性质:。
7. 证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义:a与内任何直线垂直;
(2)判定定理1:;
(3)判定定理2:;
(4)面面平行的性质:;
(5)面面垂直的性质:。
8. 证明线线垂直的方法
(1)定义:两条直线所成的角为90°;
(2)平面几何中证明线线垂直的方法;
(3)线面垂直的性质:;
(4)线面垂直的性质:。
9. 判定两个平面平行的方法
(1)依定义采用反证法;
(2)利用判定定理:
;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行;
;
(4)平行于同一平面的两个平面平行;
。
10. 平行关系的转化
由上面的框图易知三者之间可以进行任意转化,因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程,在解题时把握这一点,灵活确定转化的思路和方向。
11. 判定两个平面垂直的方法
(1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角。
(2)判定定理:
12. 垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直。故熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键。
【典型例题】
例1. 图中所示的是一个零件的直观图,画出这个几何体的三视图。
解析:该零件由一个长方体和一个半圆柱体拼接而成,并挖去了一个与该半圆柱同心的圆柱,这个几何体的三视图如图所示。
在视图中,被挡住的轮廓线画成虚线,尺寸线用细实线标出;Φ表示直径,R表示半径;单位不注明时按mm计。
点评:画简单组合体的三视图应注意两个问题:(1)要确定主视、俯视、左视的方向,同一物体放置位置的不同,所画的三视图可能不同。(2)要明确简单组合体是由哪几个基本几何体生成的,并注意它们的生成方式,特别是交线位置。
例2. 在球面上有四点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积和体积。
解析:如图,设过A、B、C三点的球的截面半径为r,球心到截面距离为d,球半径为R,则。
在三棱锥中
∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC ∴P在△ABC上的射影是△ABC的垂心
又PA=PB=PC ∴又是△ABC的外心因此可知△ABC是等边三角形,边长为
又∵∴
于是,
点评:因为PA,PB,PC 两两垂直,于是也可以构造一个长方体来解决,长方体对角线恰为球的直径,,所以,这样就简单了。
例3. 如图,已知P为△ABC外一点,PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a,求P点到平面ABC的距离。
解析:过P作PO⊥平面ABC于O点,连结AO、BO、CO
∴PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC
∵PA=PB=PC=a ∴△PAO≌△PBO≌△PCO ∴OA=OB=OC ∴O为△ABC的外心
∵P