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文科数学
文科数学测试卷共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设全集U = R ，集合 A ={-1，0，1，2} ， B = {x | log2 x < 1} ，则 A I ( U B) =
（A）{1，2} （B）{-1，0，2} （C）{2} （D）{-1，0}
复数 z 满足 z(1+ 2i) = 3 + i ，则 z =
（A）1-i （B）1+ i （C） 1 - i 5
1
（D） + i 5
设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 a3 = 7 ， S3 = 12 ，则 a10 =
（A）10 （B） 28 （C） 30 （D）145
已知两个非零向量 a ， b 互相垂直，若向量 m = 4a + 5b 与n = 2a + lb 共线，则实数l的值为
（A） 5 （B） 3 （C） （D） 2
（5）“ cos 2a= 1 ”是“a= kπ + π (k Î Z ) ”的
2 6
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
执行如图所示的程序框图，如果输入的 x Î[-2，2] ，则输出的 y 值的取值范围是
开始
输入 x
y =
x < 0
否
x
是 1
y = x +
x
输出 y
结束
x +1
（A） y ≤ - 5 或 y ≥ 0
2
2
（B） -2 ≤ y ≤
2
3
2
（C） y ≤ -2 或0 ≤ y ≤ （D） y ≤ -2 或 y ≥
3 3
曲线 xy - x + 2 y - 5 = 0 在点 A(1，2) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
（A） 9 （B） 49
6
9
2
11
（D）
3
（8）已知定义在 R 上的奇函数 y = f (x) 满足 f (2 + x) = f (-x)，且 f (1) = 2 ，则 f (2018) + f (2019) 的值为
（A） -2 （B） 0 （C） 2 （D） 4
如图，在矩形 ABCD 中， AB = 2 ， AD = 3 ，两个圆的半径都是1，且圆心O1，O2 均在对方的圆周上，在
O1
O2
矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 A D
2π+ 3
（A）
12
（B）
4π - 2 3
24
10π - 6 3
（C）
36
（D）
8π+3 3
36 B C
设函数 y = 6 cos x 与 y = 5 tan x 的图象在 y 轴右侧的第一个交点为 A ，过点 A 作 y 轴的平行线交函数
5
y = sin 2x 的图象于点 B ，则线段 AB 的长度为
5
（A）
3 5
（B）
2
14 5
（C）
9 2
2
2
2
某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，
则该几何体的表面积是 4 2
3
（A）18 （B） 8 + 8
5
（C） 24 （D）12 + 6
正视图 侧视图
俯视图
7
2
3
（12）设集合 A = {(x，y) | (x + 3sina)2 + ( y + 3cosa)2 = 1，aÎ R}，B ={(x，y)| 3x +4y +10 = 0}，记P = AI B ， 则点集 P 所表示的轨迹长度为
5
2
2
4
4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做。第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题卡相应位置上．
某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100 件产品中抽取5 件进行检测，对这100 件产品随机编号后分成5 组，第一组1 ~ 20 号，第二组21 ~ 40 号，…，第五组81 ~ 100 号，若在第二组
中抽取的编号为 24 ，则在第四组中抽取的编号为 ．
ìx - 3y + 3≥ 0
í
已知实数 x，y 满足ïx + y -1≥ 0 ，则 z = 2x + y 的最大值为 ．
î
ïx - y -1≤ 0
148π
边长为 2 的等边DABC 的三个顶点 A，B，C 都在以O 为球心的球面上，若球O 的表面积为棱锥O - ABC 的体积为 ．
，则三
x2 y2
已知双曲线 -
a2 b2
= 1(a > 0，b > 0) 的左右焦点分别为 F1，F2 ，点 P 在双曲线的左支上， PF2 与双曲线
右支交于点Q ，若DPF1Q 为等边三角形，则该双曲线的离心率是 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分 12 分）
已知数列{an }的前 n 项和为 Sn
， a1
= 2， Sn = 1 (n + 2)an ．
3
（Ⅰ） 求 an ；1 + 1
+L+ 1
< 1．
（Ⅱ）求证：
a a an
1 2
（18）（本小题满分 12 分）
年份 x （年）
5
6
7
8
投资金额 y （万元）
15
17
21
27
某城镇社区为了丰富辖区内广大居民的业余文化生活，创建了社区“文化丹青”大型活动场所，配备了各种 文化娱乐活动所需要的设施，让广大居民健康生活、“文化丹青”上的投资金额统计数据如下：（为了便于计算，把 2015 年简记为 5，其余依此类推）
（Ⅰ）利用所给数据，求出投资金额 y 与年份 x 之间的回归直线方程 $y = b$ x + a$ ；
（Ⅱ）预测该社区在 2019 年在“文化丹青”上的投资金额.
（附：对于一组数据(x1，y1 ) ，(x2，y2 ) ，…，(xn，yn ) ，其回归直线 yˆ = bˆx + aˆ 的斜率和截距的最
å
n
(xi - x)( yi - y)
n
小二乘估计分别为b$ = i=1 ，a$ = y - b$ x ．）
å(xi - x)
2
（19）（本小题满分 12 分）
三棱柱 ABC - A1B1C1 中， M，N，O 分别为棱 AC1，AB，A1C1 的中点.
3
（Ⅰ）求证：直线 MN ∥平面 AOB1 ；
C B
（Ⅱ）若三棱柱 ABC - A1B1C1 的体积为10
，求三棱锥 A - MON 的体积.
A
N
M
C1
O
A1
B1
（20）（本小题满分 12 分）
如图，已知 F1 (-1，0)，F2 (1，0) 是椭圆C 的左右焦点， B 为椭圆C 的上顶点，点 P 在椭圆C 上，直线 PF1
y
B
M
P
F1 O
F2
与 y 轴的交点为 M ， O 为坐标原点，且|PM | = |F M |，|OM | = 3 ．
2 4
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点 B 作两条互相垂直的直线分别与椭圆C 交于 S，T 两点 x
（异于点 B ），证明：直线 ST 过定点，并求该定点的坐标．
（21）（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) = ( 3 -1)e x + a
x x
(x > 0，a Î R) .
（Ⅰ）若 f (x) 在(0，+ ¥) 上单调递减，求 a 的取值范围；
（Ⅱ）当 a Î(-3，- e) 时，判断关于 x 的方程 f (x) = 2 的解的个数.
请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
（22）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
ìx = t 2
î
在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的参数方程为í y = 2t （ t 为参数），以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为r= 5cosq.
（Ⅰ）写出曲线C1 的极坐标方程和C2 的直角坐标方程；
（Ⅱ）记曲线C 和C 在第一象限内的交点为 A ，点 B 在曲线C 上，且ÐAOB = π ，求DAOB 的面积.
1 2 1 2
（23）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x) =| x - 2 | + | x - a2 |．
（Ⅰ）若关于 x 的不等式 f (x) ≤ a 有解，求实数 a 的取值范围；
（Ⅱ）若正实数 m，n 满足 m + 2n = a ，当 a 取（Ⅰ）中最大值时，求 1 + 1 的最小值．
m n
文科数学参考答案
一、选择题
1～6 BABCBC 7～12 BADCCD
7
第（12）题提示：圆(x + 3sina)2 + ( y + 3cosa)2 = 1 的圆心(-3sina，- 3cosa) 在圆 x2 + y2 = 9 上， 当a改变时，该圆在绕着原点转动，
集合 A 表示的区域是如右图所示的环形区域，
直线3x + 4 y +10 = 0 恰好与环形的小圆相切， 所以 A I B 所表示的是直线3x + 4 y +10 = 0 截圆 x2 + y2 = 16 所得的弦长.
33
二、填空题
（13） 64 （14） 8 （15）
3
（16）
第（16）题提示： PF2 - PF1 = QF2 = 2a ， QF1 - QF2 = 2a ， QF1 = 4a ，在DQF1F2 中由余弦定理，
1 2 1 2 1 2
F F 2 = QF 2 + QF 2 - 2QF × QF cos120o 得，
7
三、解答题
4c2 = 16a2 + 4a2 - 2 × 4a × 2a ×cos120 o Þ e =
（17）（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ） 3Sn = (n + 2)an ， 3Sn-1 = (n +1)an-1
两式相减， 3a
= (n + 2)a - (n +1)a
， an = n +1 ，其中n ≥ 2
n n n -1
an-1 n -1
累乘得， a
= (n +1)n a
= n(n +1) ，其中 n ≥ 2 ，又 a = 2
n 2 1 1
\ an = n(n +1) ………6 分
1 1 1 1 1 1
（Ⅱ） + +L+ = + +L+
a1 a2
an 1× 2 2 × 3
n(n +1)
1 1 1 1 1 1
= (1- ) + ( - ) +L+ ( - ) = 1- < 1………12 分
2 2 3
（18）（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ） x = ， y = 20
n n +1
n +1
\ bˆ = (5 - )(15 - 20) + (6 - )(17 - 20) + (7 - )(21- 20) + (8 - 6. 5)(27- 20) = 4
(5 - )2 + (6 - )2 + (7 - )2 + (8 - )2
aˆ = 20 - 4´ = -6 ，回归方程为 yˆ = 4x - 6 ………6 分
（Ⅱ）当 x = 9 时， y = 30 ，预测该社区在 2019 年投资金额为30 万元 12 分
（19）（本小题满分 12 分）
AB
/ / 1
解：（Ⅰ）设 P 为 1 中点，连结 NP ，则 NP = 2 BB1
又 MO / / 1 AA ，所以 MOPN 为平行四边形， MN / /OP
= 2 1
1 1 1
MN / / 平面 AOB1 ………6 分
1 1 1 1 1
（Ⅱ）VA-MON = VN - AMO = 2 VN - AC O = 4 VN -C A A = 8 VB-C A A
1 1 1 1 1
Q BB1 / / 平面 AA1C1 ，VB-C A A = VB -C A A
1 1 1
\VB -C A A
= 1 V 3
ABC - A1B1C1
= 10 3
3
\VA-MON
= 3 ………12 分
5
12
（20）（本小题满分 12 分）
b2 3
解：（Ⅰ）由题 PM = MF2 = MF1 ，\ PF2 ^ F1F2 ， PF2 = 2OM = a = 2
x2 y2
联立 a2 = b2 + c2 和c = 1解得 a2 = 4 ， b2 = 3 ，所求椭圆方程为
+ = 1………4 分
4 3
3
- 8 3
（Ⅱ）设 S (x1，y1 )，T (x2，y2 ) ，直线 BS : y = kx + ，联立椭圆方程得
(4k 2 + 3)x2 + 8 3k = 0 ， x
= - 8 3k
1
4k 2 + 3
， x2
= - 4 k =
k 2 + 3
8 3k
4 + 3k 2
由题，若直线 BS 关于 y 轴对称后得到直线 B¢S¢ ，则得到的直线 S¢T ¢与 ST 关于 x 轴对称， 所以若直线 ST 经过定点，该定点一定是直线 S¢T ¢与 ST 的交点，该点必在 y 轴上.
(kx + 3)x - x (- 1 x + 3)
设该点坐标(0，t) ，
t - y1 =
-x1
y2 - y1
x2 - x1
， t = y1x2 - x1 y2 =
x2 - x1
1 2 1 k 2
x2 - x1
代入 x1，x2
化简得t = -
， ST 经过定点(0，-
3
7
3
) ………12 分
7
（21）（本小题满分 12 分）
¢ x 3 3
a -x2 + 3x -3 x a
解：（Ⅰ） f
(x) = e ( -1- ) - = × e -
× x
x x2 x2 x2 x2
由题 f
¢(x) ≤ 0 在(0，+ ¥) 恒成立，
-x2 + 3x - 3 a x2 e - x2
≤ 0 Û a ≥(-x 2
+ 3x - 3) × ex
设 g(x) = (-x2 + 3x - 3) × e x ， g¢(x) = ex (-x2 + x) g (x) 在(0，1) 上单调递增，在(1，+ ¥) 上单调递减. gmax (x) = g (1) = -e ， a Î[-e，+ ¥) ………5 分
（Ⅱ） f (x) = ( 3 -1)ex + a = 2 Û a = 2 - ( 3 -1)ex ，其中 x > 0
x x x x
\ a = 2x - (3 - x)ex ， x > 0
令 h(x) = 2x - (3 - x)e x ， h¢(x) = 2 + (x - 2)ex ， h ¢(x) = (x -1)ex
h¢(x) 在(-¥，1) 上单调递减，在(1，+ ¥) 上单调递增，由 h¢(0) = 0
又 h¢(2) = 2 > 0 ，所以存在 x0 > 0 ，使 h¢(x) 在(0，x0 ) 上满足 h¢(x) < 0 ，
在(x0，+ ¥) 上满足 h¢(x) > 0 ，即 h(x) 在(0，x0 ) 上单调递减，在(x0，+ ¥) h(0) = -3 ， x ® +¥ 时， h(x) ® +¥ ，
所以当 x > 0 ， a Î(-3，- e) 时， a = 2x - (3 - x)ex 有一个解
\ f (x) = 2 只有一个解………12 分
（22）（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）由题C1 : y = 4x ， r sin q= 4rcosq，即rsin q= 4 cosq
2 2 2 2
2
C : x2 + y2 = 5x ………5 分
A A
（Ⅱ）联立 y2 = 4x 和 x2 + y2 = 5x 得 x = 1， y = 2
m
2
设 B( ，m) ，由OA ^ ， m = - 1 Þ m = -8 ， -
4 OB m2 2
4
5
1 1
B(16， 8)
SDAOB = 2 | OA | × | OB |= 2 5 ×8 = 20 ………10 分
（23）（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ） | x - 2 | + | x - a 2 |≥| (x - 2) - (x - a 2 ) |=| a 2 - 2 | ， x = 2 时等号成立
\ f (x) 的最小值为| a2 - 2 | ，| a2 - 2 |≤ a ， -a ≤ a2 - 2 ≤ a ， a Î[1，2] ………5 分
1 1 1 1
（Ⅱ） a = 2 时， 2( + ) = (m + 2n)( + ) ≥ (1+
2
m n m n
2)2
2
\ 1 + 1 ≥ 3 +
m = 2
- 2，n = 2 -
2
时等号成立 10 分
m n 2