文档介绍：基础题题库三
立体几何
201. .已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=AC=2,求球的体积。
解析:过A、B、C三点截面的小圆的半径就是正△ABC的外接圆的半径,
它是Rt△中所对的边,其斜边为,即球的半径为,∴;
202. 正四面体棱长为a,求其内切球与外接球的表面积。
解析:设正四面体的面BCD和面ACD的中心分别为,连结与并延长,必交于CD的中点E,又,,连接,在Rt△中,连结与交于,由Rt△Rt△,∴,同理可证到另二面的距离也等,
∴为四面体外接球与内接球的球心,由△∽△,∴,
∴
203. 在RtΔABC中,AB=BC,E、F分别是AC和AB的中点,以EF为棱把它折成大小为β的二面角A—EF—B后,设∠AEC=α,
求证:2cosα-cosβ=-1.
解析:∠AFB=:BC⊥AB,然后利用AC2=BC2+AB2即可证得.
204. 如图:D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点,沿AD和AE将△ABD和△ACE折起,使AB和AC重合,求证:平面ABD⊥平面ABE.
E
D
B
A
E
D
C
B
A
解析:过D作DF⊥AB交AB于F,连结EF,计算DF、EF的长,又DE为已知,三边长满足勾股定理,∴∠DFE=;
205. 已知正三棱柱ABC—的底面边长为8,侧棱长为6,D为AC中点,
(1)求证:AB1∥平面C1DB;(2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.
(1) 解析:连B1C交BC1于E,连结ED,则AB1∥DE,由线面平行定理得AB1∥平面BDC1;(2)∵AB1∥DE,∴DE与BC1所成锐角就是异面直线AB1与BC1所成的角,又BD⊥DC,在Rt△BDC1中,
易知BE=BC1=5,DE=5,BD=,在△BDE中,∠BED=,∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
P
C
B
A
206. 已知(如图):三棱锥P—ABC中,异面直线PA与BC所成的角为,二面角P—BC—A为,△PBC和△ABC的面积分别为16和10,BC=4.
求:(1)PA的长;(2)三棱柱P—ABC的体积
解析:
(1)作AD⊥BC于D,连PD,由已知PA⊥BC,∴BC⊥面PAD,∴BC⊥PD,∴∠PDA为二面角的平面角,
∴∠PDF=,
可算出PD=8,AD=5,∴PA=7;(2)V=
207. 如图2-33:线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点,线段PD分别交α、β于C、D两点,线段QF分别交α、β于F、E两点,若PA=9,AB=12,BQ=12,ACF的面积为72,求BDE的面积。
解析: 求BDE的面积,看起来似乎与本节内容无关,事实上,已知ACF的面积,若BDE与ACF的对应边有联系的话,可以利用ACF的面积求出BDE的面积。
(提示:①ABC的两条邻边分别长为a、b,夹角为θ,则ABC的面积S=absinθ,②sinα=sin(180°-α)
P
C
A
F
D
B
E
Q
β
α
图2-33
解答:∵平面QAF∩α=AF,平面QAF∩β=BE,又∵α∥β,∴AF∥BE
同理可证:AC//BD,∴∠FAC与∠EBD相等或互补,即sin∠FAC= sin∠EBD.
由 AF∥BE,得,∴BE=AF
由BD//AC,得:,∴BD=AC
又∵ACF的面积为72,即AF·AC·sin∠FAC=72,
∴= BE·BD·sin∠EBD
=· AF·AC·sin∠FAC
=· AF·AC·sin∠FAC=×72=84
∴BDE的面积为84平方单位。
208. a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合平面,现给出六个命题,
①②③
④⑤⑥
其中正确的命题是( )
A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①④ D. ①④⑤⑥
解析: 首先要判断每个命题的真假,错误的命题只需给出一个反例。
解答: ①三线平行公理,
②两直线同时平行于一平面,这二直线可相交,平行或异面
③二平面同时平行于一直线这两个平面相交或平行
④面面平行传递性,
⑤一直线和一平面同时平行于另一直线,这条直线和平面可平行或直线在平面内,
⑥一直线和一平面同时平行于另一平面,这直线和平面可平行也可能直线在平面内,
故①④正确
∴应选C。
209. 长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB1与A1D所成的角为α,AC与BC1所成的角为β,A1C1与CD1所成的角为γ。
求证:α+β+γ=π
A
D
C
B
A1
D1
C1
B1
图2-
解析:作如图的辅助线
则∠AB1C为AB1与A1D所成的角∠AB1C=α
∵