文档介绍：教学目标
学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理;
理解定理的几何意义;
能够简单应用定理证明不等式.
教学重点
均值定理证明
教学难点
等号成立条件
教学方法
引导式
教具准备
幻灯片
教学过程
Ⅰ.复习回顾
师:上一节,我们完成了对不等式性质的学习,首先我们来作一下回顾.
生:(答略)
师:由上述性质,我们可以推导出下列重要的不等式.
Ⅱ.讲授新课
重要不等式:
如果
证明:
当
所以,
即
由上面的结论,我们又可得到
定理:如果a,b是正数,那么
证明:∵
即
显然,当且仅当
说明:ⅰ)我们称的算术平均数,称的几何平均数,因而,此定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
ⅱ)成立的条件是不同的:前者只要求a,b都是实数,而后者要求a,b都是正数.
ⅲ)“当且仅当”的含义是充要条件.
“半径不小于半弦”.
以长为a+b的线段为直径作圆,在直径AB上取点C,使AC=a,CB=′,那么
即
这个圆的半径为,显然,它不小于CD,即,其中当且仅当点C与圆心重合;即a=b时,等号成立.
师:在定理证明之后,我们来看一下它的具体应用.
题讲解:
例1 已知x,y都是正数,求证:
(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值
(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值证明:因为x,y都是正数,所以
(1)积xy为定值P时,有
上式当时,取“=”号,因此,当时,和有最小值.
(2)和x+y为定值S时,有
上式当x=y时取“=”号,因此,当x=y时,积xy有最大值.
说明:此例题反映的是利用均值