文档介绍：(2)
黄冈中学汤彩仙
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: 均值不等式定理的应用
: 解题中的转化技巧
: 启发式
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(一)复习回顾
上一节,我们一起学均数的定理,首先我们来回顾一下定理内容及其适用条件.
(学生回答略)
利用这一定理,可以证明一些不等式,也可求解某些函数的最值,这一节,我们来继续这方面的训练.
(二)新课讲解
,求证:
①如果积是定值,那么当时,和有最小值;
②如果和是定值,那么当时,积有最大值.
证明:∵,∴,
①当(定值)时, ,∴,
∵上式当时取“”, ∴当时有;
②当(定值)时,, ∴,
∵上式当时取“”,∴当时有.
说明: 应用定理时注意以下几个条件:
(1)两个变量必须是正变量;
(2)当它们的和为定值时,其积取得最大值;当它们的积是定值时,其和取得最小值;
(3)当且仅当两个数相等时取最值.
即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件,才能求得最值.
在求某些函数的最值时,还要注意进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数.
例2.(1)求的最值,并求取最值时的的值.
解:∵∴
于是,
当且仅当,即时,等号成立,
∴的最小值是,此时.
(2)若上题改成,结果将如何?
解:∵, ,
于是,
从而,
∴的最大值是,此时.

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)设,且求的最大值.
解:(1),
当且仅当时等号成立.
(2),当且仅当时取等号.
(3) ,
当时取等号.
(4),
当且仅当时等号成立.
(5),当且仅当时取等号.
例4.(1)若正数满足,求的最小值.
(2)已知,求的最小值.
解:(1),
当且仅当时取得最小值.
说明:(1)的错误解法是:,两次取等号的条件不一致.
(2)由知,,
∴,
∴,
上式中两个“≥”号中的等号当且仅当都成立,
即当时,取得最小值.
,
(1)求的取值范围;(2)求的最小值.
解:(1)
(2).
:
2(1)若,求的最值.
(2)下列函数中,最小值是的是( )
,

:利用均值不等式求函数的最值时要注意一“正”、二“定”、三“相等”.

:-5.
,求函数的最小值,并求相应的值.
,则为何值时有最小值,最小值为多少?
.
解:
在递减,当时取最小值.
:
(2)
均值不等式
定理回顾
……
……
例题

练习

不等式的推广及应用
人教版《高中数学第二册》(上),供大家在教学中参考.
一、不等式的应用
例1. 设c是直角三角形斜边的长,两直角边长为a和b,求证