文档介绍：第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
摘要: 本文主要利用化为参数的定积分法,格林公式,积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目;以及利用曲面积分的联系,分面投影法,合一投影法,高斯公式解答第二型曲面积分的题目.
关键词: 曲面积分;曲线积分

1 引言
第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节,,,并结合具体实例以及教材总结出其特点,.
2 第二型曲线积分
例1 求,其中a,b为正的常数,L为从点A(2a,0)沿曲线y=到点(0,0) 的弧.
方法一:利用格林公式法
,P(x,y),Q(x,y)以及它们的一阶偏导数在D 上连续,L是域D的边界曲线,L是按正向取定的.
解:添加从点(0,0)沿y=0到点A(2a,0)的有向直线段,
记为,
则由格林公式得:

其中D为所围成的半圆域,直接计算,因为在时,,所以=0
因而: ,从而
方法二:应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解
若(与路径无关的条件), 则

(2)

是起点是终点
解:
记为,

对于,积分与路径无关,所以
对于,取L的参数方程,t从0到,得
从而
对于空间第二曲线一般的解题过程为:
若L闭合,P,Q,R对各元偏导数连续

若L非闭,其参数方程为
其中: ,分别为L的起点,终点参数值.
例2 计算空间曲线积分I=,其中曲线L为圆柱面与平面的交线,从X轴正向看,曲线是逆时针方向.
方法一:化为参数的定积分计算,对于这种封闭的曲线要充分利用上三角函数的正交性.
解: 令, 则

于是I=
方法二:解:

3 第二型曲面积分
例3 计算曲面积分,其中为旋转抛物面介于平面z=0及z=1之间的部分的下侧.
方法一:利用两类曲面积分的联系

其中是有向曲面上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.
解: ,

方法二:分面投影法
如果由给出,则

如果由给出,则

如果由给出,则

等式右端的符号这样规定:如果积分曲面是由方程

所给出的曲面上(前,右)侧,应取“”,否则取“”.
解:

所以
方法三:合一投影法

前面我们看到,按分面投影发计算曲面积分时,对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示,然后转化为不同坐标面上的二重积分,这种方式形式上虽然简单但计算比较繁琐.
事实上,如果的方程, ,(是在面上的投影区域),函数在上连续时,则单位法向量为

由于投影元素, ,,于是得到
所以
等式右端的符号这样确定:如果是由方程所给出的曲面上侧,取“”,否则取“”. 当可用显示方程或表示时,只需注意到此时的法向量为或,可得相应公式. 上述方法将上式中的三种类型积分转化为同一坐标面上的二重积分,故名为合一投影法.
解:,在面上的投影区域:=,
又的下侧,,故由上式可