文档介绍：考试时间: 1月19日 08:00—10:00
答疑时间: 1月18日上午 9:00—12:00
下午 15:00—18:00
答疑地点: 主 216北
线性代数总复****br/>本课程包括行列式、矩阵、向量组、线性方程组、矩阵的相似变换、二次型共六个部分,其中的核心是矩阵及其初等变换。具体如下:
1) 行列式是矩阵的数字特征,它可以刻画矩阵的秩(特别地,方阵的可逆性)以及正定性(包括正定,半正定等),它是矩阵的量的刻画。
2) 矩阵可以成为一种运算体系,它可以作加法和数乘运算,在一定条件下还可以作乘法和除法运算,从而可以解一些特殊的矩阵方程。
3) 向量组是矩阵的内部结构,将矩阵分成行或列,就得到向量组,合之则得到矩阵。它是矩阵的质的刻画。
4) 线性方程组是矩阵的一次方程AX=b,解线性方程的本质是将增广矩阵通过初等行变换化成简化阶梯形。
5) 矩阵的相似变换是一种特殊的初等变换,其核心问题是判断矩阵何时相似于对角形,怎样将可以对角化的矩阵化成对角矩阵。
6) 二次型等价于对称阵,其核心问题是将对称阵通过合同变换这种特殊的初等变换化成对角形。
矩阵作为核心内容,其发挥作用的关键在于矩阵的等价分类。
具体地说,就是将要考虑的所有矩阵通过某种方式分成若干类,使得同一类中的矩阵具有等价关系(自反性,对称性,传递性),并且具有某些相同的性质(如秩等)。然后挑出每个等价类中形式最简单的矩阵,根据最简单的矩阵的性质解决特定的矩阵问题。
本课程中对矩阵进行分类的方式是借助矩阵的初等变换,即给定某种形式的初等变换,矩阵A与矩阵B在一个等价类中当且仅当A能通过给定的初等变换化成B。
本课程中给定的初等变换有三类,即两个矩阵的等价关系有三种。
第一种是所谓矩阵的等价,即两个同型矩阵A与B等价当且仅当A能通过有限次的任意初等变换化成B。这时同一个等价类中的矩阵具有相同的秩。特别地,通过初等行变换,可以把矩阵变成阶梯形、简化阶梯形,再加上列变换,可以变成标准形。通过将矩阵化成简化阶梯形,可以算出矩阵的秩(从而向量组的秩),可以判定线性方程组的是否有解,并可以在有解时通过简化阶梯形求解。
第二种是矩阵的相似,即两个同阶方阵A与B相似当且仅当A能通过相似变换化成B。相似矩阵有相同的行列式和特征多项式,从而有相同的特征值,但未必有相同的特征向量。通过相似变换,可以将一大类矩阵(如实对称阵)化成对角形,可以展现矩阵的特征值,也可以求出矩阵的方幂。
第三种是矩阵的合同。即两个同阶方阵A与B合同当且仅当A能通过合同变换化成B。合同的实对称矩阵有相同的正定性。通过矩阵的合同变换,可以将二次型化成标准型,可以判定矩阵的正定性。
注意正交变换既是相似变换又是合同变换。
需要掌握的计算:
1) 利用行列式的性质、递推式、数学归纳法计算行列式的值。
2) 利用初等变换求矩阵的逆;利用初等变换求矩阵的秩;掌握初等矩阵与一般矩阵相乘的意义。
3) 判断向量组的线性相关性;能把向量表示成一组向量的线性组合。
4) 求向量组的一个极大无关组和秩。