文档介绍：计算土力学
主讲教师:张爱军
§ 常应变三角形单元(补充)
单元刚度矩阵形成
单元本身是平衡的
[k]δ:位移引起的结点力,其中[k]为相应的刚度。
主元:结点本身位移引起的本结点的结点力
辅元:结点2的位移引起结点1的结点力
有了刚度值,就可以由位移求出力(非应力)
有了弹性模量值,就可以由应变求出应力
σ
ε
p
δ
斜率为弹性模量
斜率为刚度
弹性地基粱为例
一般弹性体为例
整体各个单元刚度矩阵分析
1
2
4
3
5
6
①
②
③
④
总体刚度矩阵的叠加
1
2
4
3
5
6
①
②
③
④
表示:整体结构中,整体结点编号为1的结点位移引起的本身的结点力,相应的刚度
表示:整体结构中,整体结点编号为2的结点位移引起结点1的结点力,相应的刚度
表示:整体结构中,整体结点编号为5的结点位移引起结点3的结点力,相应的刚度
整体刚度矩阵的性质
整刚表示整体位移与力的关系
总体刚度矩阵的行数和列数=总结点数×单元结点自由度数的方阵,其排列的顺序按照结点标号依次从小到大排列,每个结点的按照自由度的顺序排列。上例中总刚度矩阵排列见后,这样排列是为了与单元结点位移向量对应。
结点的多少决定着整刚的大小。
约束处理
就是将整刚中相应的约束结点的约束自由度上的行、列划去,将荷载向量中相应项划去即可。
其实质是:强制使得u=0,或v=0;或u=0,v=0
对于给定位移约束条件,即:u=c1或v=c2
是将整体刚度矩阵中相应的主元乘以一个大值A,等效结点向量相应的值设为A×c1或A×c2,利用“大数吃小数”的原理,得到u=c1或v=c2。在上例中,若整体结点号为2的水平位移u2=c2,则有:
相对于A很小
§ 等参元
以上三角形单元分析中可以看出,从位移模式到形函数的构造上面,需要解三元一次方程,若位移模式中取得的项数进一步增加到4~20项,其形函数的构造非常麻烦,而且不能够统一编程,因此需要找更方便的办法
在三角形单元中,对于等效结点荷载向量的求解等就很复杂了,对于其他复杂单元其求解将更加困难。
这就引出来另外一种思路。即:先将实际单元通过坐标转换函数转化成一个母元(即:形状规则、简单的单元),所有位移模式、形函数、单元分析,等效结点荷载向量建立等均在该母元上进行,使得求解简单化,并便于变成。然后将求出的量再转化成实际单元的量,求出最后的结果。这种思路概念清楚、便于理解,并且便于标准化。这就是等参元的思路。