文档介绍：计算土力学
主讲教师:张爱军
第4章有限单元法
有限元法同差分法一样,也是一种数值近似方法,用于求解在给定定解条件下的偏微分方程。
Clough正式提出“有限单元法”FEM这个概念, Zienkiewicz Cheung(张佑启)写出了第一本有限元专著,标志着有限单元法正式走向实用。
有限元法在岩土工程中有较为广泛的应用,主要有以下几个方面:
稳定分析(强度折减法分析边坡稳定性)
固结分析(2、3维)
总应力变形、应力分析(2、3维)
动力分析(地震、振动、爆破冲击)
渗流分析(2、3维)
动力固结分析(难)
本章主要讲解有限元的基本方法与思路,具体有限格式的构造,在其他章节中详细叙述。
§ 概述
有限单元法的实质
有限单元法是求解连续区域内的边值问题和初值问题的数值方法。其实质是将分析区连续的域V和边界S离散成为有限个只在结点连接的子域Ve和面域 Se(每个子域称为一个有限单元,各个子域连接的点称为结点),用全部有限单元的集合等价于连续域的近似分析方法。计算中只求结点上的待定函数(即:要求的函数)值,用结点上的待定函数值反映整个域待定函数的分布和变化规律。
如:位移、流势、浓度、温度等等
有限单元内部的待定函数值则近似地用若干个形函数叠加而成。形函数表示待定函数在单元内的分布形态和规律,形函数确定后,就可以由单元结点处的待定函数值表示单元内部任意点的待定函数值。因此形函数的选择是有限元分析的关键。一般形函数为一个由结点上待定函数值组成的多项式,即:
有限单元法的分析步骤
连续体的离散
选择形函数
单元特性分析
总体特性分析(单刚-总刚)
引入边界条件
求解线性方程组,得到求解函数值。
V
S
Ve
分布有函数
这就需要解决以下几个问题:
这样作能够逼近真解的道理在那?
形函数如何选择?在形函数中选择待定函数的那个量(位移、应力等)?
如何具体分析?
有限单元法建立的方法
变分法
加权残量法(或称加权残数法)
这两种方法就是分析有限元法能够逼近真解的数学原理。也就是如何将确定的偏微分方程和定解条件(初始条件、边界条件)转化为有限元格式的方法。
其中:变分法有严格的数学证明,而加权残数法尚未有严格的数学证明,但是对于我们要解的问题证明是可行的,但是不是对任何一个问题均被证明是有效的。在计算土力学中,对于有效应力分析方法用加权残数法,总应力法用变分法(也就是最小势能和最小余能原理)。
根据形函数的类型将有限元法分为:
线性单元:三节点三角形单元
高次单元:等参元
协调元
非协调元(壳单元)
粱单元
杆单元
板壳单元
实体单元
锚索单元等等--如何选择结合分析讲