文档介绍：计算土力学
主讲教师:张爱军
其他差分公式介绍
以上讲的差分公式为中心差分公式,其特点是需要采用前一步和后一步值来进行计算。
另外还由向前和向后差分方法,这些方法的实质是采用本身值和前一步或后一步值来计算一次微分
以下列出这些差分的公式
方法
差分公式
适用
范围
中心差分
精度较高
向前差分
精度差一些
向后差分
精度差
方法
差分公式
适用
范围
半步长中心差分
精度较高
时间域上差分用之
差分公式的截断误差
差分公式实际上是一种近似解法,其误差分析是非常重要的
截断误差值分析是分析在采用差分公式代替微分公式时,其误差有多大。截断误差分析时进行差分方程收敛性和稳定性分析的基础。
向前差分公式截断误差
由Taylor级数展开式得到:
将以上公式移项得到:
截断误差
向后差分公式截断误差
由Taylor级数展开式得到:
将以上公式移项得到:
因此:从上式可以看出,向前与向后差分是对于某个方向上的截断误差是其步长h的一次函数。我们说向前和向后差分的精度是一阶近似的。
中心差分公式截断误差
从上式可以看出,中心差分公式较向前和向后差分公式的精度提高一个等级。
可以推导出二阶微分的精度如下:
从上式可以看出,对于二阶偏导,向前、向后和中心差分公式的精度是一致的。
从以上公式看出,对于以上差分公式,当h无限减少时,截断误差可以无限减少,