文档介绍：用函数观点看
一元二次方程
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
复习
一元二次方程根的情况与b²-4ac的关系
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系: h= 20 t – 5 t2
考虑下列问题:
(1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间?
(2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能,需要多少时间?
(3)球的飞行高度能否达到 m? 若能,需要多少时间?
(4)球从飞出到落地要用多少时间?
解:(1)解方程
15=20t-5t²
t²-4t+3=0
t =1, t =3.
当球飞行1s和2s时,
它的高度为15m。
?
h
t
(2)解方程
20=20t-5t²
t²-4t+4=0
t = t =2.
当球飞行2s时,
它的高度为20m。
(4)解方程
0=20t-5t²
t²-4t=0
t =0, t =4.
当球飞行0s和4s时,
它的高度为0m,即0s飞出,4s时落回地面。
(3)解方程
=20t-5t²
t²-4t+=0
∵(-4)²-4*<0,
∴方程无实数根
(2、20)
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变量x的值.
就是求方程3=-X2+4x的解,
例如,解方程X2-4x+3=0
就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量x的值.
结论:一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)
观察:下列二次函数的图
象与x轴有公共点吗?如
果有,公共点横坐标是多
少?当x取公共点的横坐
标时,函数的值是多少?
由此,你得出相应的一
元二次方程的解吗?
(1)y=x2+x-2
(2)y=x2-6x+9
(3)y=x2-x+1
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
y=x²-6x+9
Y=x²+x-2
Y=x²-x+1
x
y
?
(1)设y=0得x2+x-2=0
x1=1,x2=-2
∴抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,公共点的横坐标分别是1和-2,当x取公共的的横坐标的值时,函数的值为0.
(2)设y=0得x2-6x+9=0
x1=x2=3
∴抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点,公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐标的值时,函数的值为0.
(3)设y=0得x2-x+1=0
∵b2-4ac=(-1)2-4*1*1=-3<0
∴方程x2-x+1=0没有实数根
∴抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点
Y=x²+x-2
Y=x²-x+1
y=x²-6x+9
x
y
(-2、0)
(1、0)
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
只有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
归纳:
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
(1)有两个交点
(2)有一个交点
(3)没有交点
二次函数与一元二次方程
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac= 0
b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac
≥0
△>0
△=0
△<0
O
X
Y
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点