文档介绍：联想“模型函数”破解抽象函数题
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,,又能考查学生的思维能力,,学生解题时思维常常受阻,,(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),可联想到f(x)=kx(k≠0),有f(x1)=kx1 ,f(x2)=kx2,f(x1+x2)=k(x1+x2)=kx1+kx2=f(x1)+f(x2),则y=kx就可以作为抽象函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)的一个“模型函数”.分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知,由抽象函数的结构,联想到已学过的具有相同或相似结构的某个“模型函数”,并由“模型函数”的相关结论,预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质而使问题获解,,本文试图归纳一些中学阶段学过的常见“模型函数”,通过联想“模型函数”来破解抽象函数题.
一、中学阶段学过的常见“模型函数”
抽象函数
模型函数
f(x+y)=f(x)+f(y)
y=kx(k为常数)
f(x+y)=f(x)+f(y)-a
y=kx+a(k,a为常数)
f(x+y)=f(x)·f(y)
y=ax(a>0且a≠1)
f(xy)=f(x)+f(y)
y= (a>0且a≠1)
f(xy)=f(x) f(y)
y=xn(n为常数)
注:记忆方法:如和的函数等于函数的积对应的模型函数为指数函数,而积的函数等于函数的和对应的模型函数为对数函数等.
二、联想“模型函数”破解抽象函数题例析
【例1】已知函数f(x)对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x) >0,f(-1)=-2,求函数f(x)在区间[-2,1]上的值域.
联想:由f(x+y)=f(x)+f(y)联想“模型函数”y=kx(k为常数)为奇函数,k<0时为减函数,k>0时为增函数,从而猜测:f(x)为奇函数且f(x)为R上的单调增函数,且f(x)在[-2,1]上有f(x)∈[-4,2].
解析:设x1<x2且x1,x2∈R, 则x2-x1>0, ∴f(x2-x1)>0,
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0,
∴f(x2)>f(x1),∴f(x)为R上的单调增函数.
令x=y=0,则f(0)=0,令y=-x,则f(-x)=-f(x),∴f(x)为R上的奇函数.
∴f(-1)=-f(1)=-2 , ∴f(1)=2,f(-2)=2f(-1)=-4,∴-4≤f(x)≤2(x∈[-2,1]),
故f(x)在[-2,1]上的值域为[-4,2]
注意:由f(x+y)=f(x)+f(y)断定f(x)=kx(k为常数)是错误的,犯了用特殊代替一般的错误(解客观题还是可以).我们只能借助f(x)=kx(k为常数)来猜测f(x)的性质,为解题指明方向,至于f(x)的性质的得出,我们还是要由相关定义来严格证明,决不能含含糊糊.
【例2】函数对任意、R,都有,并且当时,.(1)求证:是R上的增函数;
(2)若,解