文档介绍：第12讲平行的判定与性质
1. 线面平行的定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行.
2. 判定定理:平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.
符号表示为:.
:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
即:.
【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、F分别为AB、PD的中点,求证:AF∥平面PEC
【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证:EF∥平面BB1D1D.
A
B
C
D
E
F
G
M
O
【例3】如图,已知、、、分别是四面体
的棱、、、的中点,求证:∥平
面.
【例4】如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点
(1)求证:MN//平面PAD;
(2)若,,求异面直线PA与MN所成的角的大小.
【例5】三角形的三条中线交于一点,该点称为三角形的重心,且到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍. 这一结论叫做三角形的重心定理.
在四面体ABCD中,M、N分别是面△ACD、△BCD的重心,在四面体的四个面中,与MN平行的是哪几个面?试证明你的结论.
【例6】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E,求证:E1E∥B1B
A
B
C
D
β
【例7】如图,,,,,求证:.
【例8】如右图,平行四边形EFGH的分别在空间四边形ABCD各边上,求证:BD//平面EFGH.
d
g
b
a
_
b
_
a
【例9】已知直线∥平面α,直线∥平面β,平面α平面β=,求证.
【例10】如下图,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB,点E、M分别为A1B、C1C的中点,过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.
(1)求证:EM∥平面A1B1C1D1; (2)设截面A1BMN把该正四棱柱截成两个几何体的体积分别为V1、V2(V1<V2,求V1∶V2的值.
:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,:.
2. 面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 用符号语言表示为:.
3. 其它性质:①; ②;③夹在平行平面间的平行线段相等.
【例1】如右图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点,求证:平面MNP∥平面A1BD.
A1
A
B1
B
C1
C
D1
D
G
E
F
【例2】正方体ABCD—A1B1C1D1中.(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C;
(2)若E、1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD.
N
M
P
D
C
Q
B
A
【例3】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四