文档介绍：湖南省省级示范性高中……洞口三中高三数学第一轮总复习讲义
讲义13 数列的概念
一、基本知识体系:
数列:是特殊的函数,是建立在N*或N*的子集上的函数,所以,处理数列问题时,要注意运用函数的有关性质。
数列的通项公式:数列{an}的第n项an与n之间的一个函数关系表达式。
求数列的通项公式:
①、Sn与an之间的相互转化:an=要特别注意讨论n=1的情况。
②、由数列的递推关系式去求通项公式:
(1)、形如an+1= an+¦(n)时Þ常用累加法去解决:例如在数列{an}中,a1=1; an+1= an+2n; (答案为an=2n-1);
(2)、形如an+1= ¦(n)· an时Þ常用累乘法去解决:例如在数列{an}中,a1=4; an+1= an;
(答案为 an=2n(n+1);
(3)、形如an+1= c· an +d(c、d为常数时)Þ常构造转化为一个等比数列去解决:如在数列{an}中,a1=3; an+1= 2an+1; (答案为an=2n+1-1);
(4)、形如an+1= p·anr (p、r为常数时)Þ常用两边取对数的方法去解决:例如在数列{an}中,a1=3; an+1=3 an2; (答案为an=);
二、典例剖析:
★【题1】已知数列满足,则=( )
B. C. D.
●[解析]:由a1=0,得a2=- 由此可知: 数列{an}是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a20=a2=-故选B.
★【题2】在数列中,若,,则该数列的通项 2n-1 。
●解:由可得数列为公差为2的等差数列,又,所以2n-1
★【题3】已知数列{an},满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项
1, n=1,
an=
,n≥2. (答案:)
★【题4】已知数列,且 a2k=a2k-1+(-1)k, a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….
(I)求a3, a5; (II)求{ an}的通项公式.
解:(I)a2=a1+(-1)1=0, a3=a2+31=3. a4=a3+(-1)2=4, a5=a4+32=13, 所以,a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k ; = a2k-1+(-1)k+3k, 所以a2k+1-a2k-1=3k+(-1)k, 同理a2k-1-a2k-3=3k-1+(-1)k-1,
…… a3-a1=3+(-1).所以(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1) =(3k+3k-1+…+3)+[(-1)k+(-1)k-1+…+(-1)],由此得a2k+1-a1=(3k-1)+[(-1)k-1],于是a2k+1= a2k= a2k-1+(-1)k =(-1)k-1-1+(-1)k =(-1)k=1.{an}的通项公式为:
当n为奇数时,an =当n为偶数时,
★【题5】设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(对于所有n≥1),且a4=54,则a1的数值是____________________2___.
★【题6】设数列的前n项和为,点均在函数y=3x-2的图像上。(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m。
●解:(I)依题意得,即。当n≥2时,;当n=1时,×-2×1-1-6×1-5
所以。
(II)由(I)得,
故=。因此,使得﹤成立的m必须满足≤,即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。
★【题7】在等差数列中,,前项和满足条件, (Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)记,求数列的前项和。
●解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,由得:,所以,即,又=,所以。
(Ⅱ)由,得。所以,当时,;当时,,
即。
★【题8】已知各项均为正数的数列,满足:,且,.
(1)求数列的通项公式;(2)设,,求,并确定最小正整数,使为整数.
●解:(1)条件可化为,因此{}为一个等比数列,其公比为2,首项为,所以=…………1°; 因an>0,由1°式解出an=…………2°; (2)由1°式有Sn+Tn=
==
为使Sn+Tn=为整数,=1,2时,显然Sn+Tn不为整数,
当n³3时,= =; ∴只需=为整数,因为3n-1与3互质,=9时,=13为整数,故n的最小值为9.
★【题9】在数列中,若 a1,a2 是正整数,且,3,4,5,…,则称为“绝对差数列”. (Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);
(Ⅱ)若“绝对差数列”中,,,数列满足;n=1,2,3,…,判断当时, 与的极限是否存在,如