文档介绍：第五章 Lyapunov稳定性分析和二次型最优控制
概述
本章首先讨论Lyapunov稳定性分析,然后介绍线性二次型最优控制问题。我们将使用Lyapunov稳定性方法作为线性二次型最优控制系统设计的基础。
应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而,对于非线性系统和线性时变系统,这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难,甚至是不可能的。Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
虽然在非线性系统的稳定性问题中,Lyapunov稳定性分析方法具有基础性的地位,但在具体确定许多非线性系统的稳定性时,却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。在本章中,对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
。。,并将其应用于非线性系统的稳定性分析。。,首先用公式表示Lyapunov稳定性条件,然后在这些条件的限制下设计系统。,将采用Lyapunov稳定性方程导出线性二次型最优控制的条件。。
Lyapunov意义下的稳定性问题
对于一个给定的控制系统,稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的,那么有许多稳定性判据,如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。然而,如果系统是非线性的,或是线性时变的,则上述稳定性判据就将不再适用。
本节所要介绍的Lyapunov第二法(也称Lyapunov直接法)是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。当然,这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。此外,它还可应用于线性二次型最优控制问题。
平衡状态、给定运动与扰动方程之原点
考虑如下非线性系统
()
式中x为n维状态向量,是变量x1,x2,…,xn和t的n维向量函数。假设在给定的初始条件下,式()有唯一解。当t =to时,。于是
在式()的系统中,总存在
, 对所有t ()
则称为系统的平衡状态或平衡点。如果系统是线性定常的,也就是说,则当A为非奇异矩阵时,系统存在一个唯一的平衡状态;当A为奇异矩阵时,系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统,可有一个或多个平衡状态,这些状态对应于系统的常值解(对所有t,总存在)。平衡状态的确定不包括式()的系统微分方程的解,只涉及式()的解。
任意一个孤立的平衡状态(即彼此孤立的平衡状态)或给定运动都可通过坐标变换,统一化为扰动方程之坐标原点,即或。在本章中,除非特别申明,我们将仅讨论扰动方程关于原点()处之平衡状态的稳定性问题。这种“原点稳定性问题”由于使问题得到极大简化,而不会丧失一般性,从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础,这是Lyapunov的一个重要贡献。
Lyapunov意义下的稳定性定义
下面首先给出Lyapunov意义下的稳定性定义,然后回顾某些必要的数学基础,以便在下一小节具体给出Lyapunov稳定性定理。
(Lyapunov意义下的稳定) 设系统
,
之平衡状态的H邻域为
其中,,为向量的2范数或欧几里德范数,即
类似地,也可以相应定义球域S(e)和S(d)。
在H邻域内,若对于任意给定的,均有
(1) 如果对应于每一个S(e),存在一个S(d),使得当t趋于无穷时,始于
S(d)的轨迹不脱离S(e),则式()系统之平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的。一般地,实数d与e有关,通常也与t0有关。如果d 与t0无关,则此时平衡状态称为一致稳定的平衡状态。
以上定义意味着:首先选择一个域S(e),对应于每一个S(e),必存在一个域S(d),使得当t趋于无穷时,始于S(d)的轨迹总不脱离域S(e)。
(2) 如果平衡状态,在Lyapunov意义下是稳定的,并且始于域S(d)的任一条轨迹,当时间t 趋于无穷时,都不脱离S(e),且收敛于,则称式()系统之平衡状态为渐近稳定的,其中球域S(d)被称为平衡状态的吸引域。
实际上,渐近稳定性比纯稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念,所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说,发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。
(3) 对所有的状态(状态空间中的所有点),如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳