文档介绍：1.(2012•福建理科)已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(A)
A. B.
解:抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0)
∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合
∴4+b2=9
∴b2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为,即
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于,故选A.
2.(2012•福建理科)如图,椭圆E:的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=.过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.
(Ⅰ)求椭圆E的方程.
(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
解:(Ⅰ)∵过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.
∴4a=8,∴a=2
∵e=,∴c=1
∴b2=a2﹣c2=3
∴椭圆E的方程为.
(Ⅱ)由,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0
∵动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0)
∴m≠0,△=0,∴(8km)2﹣4×(4k2+3)×(4m2﹣12)=0
∴4k2﹣m2+3=0①
此时x0==,y0=,即P(,)
由得Q(4,4k+m)
取k=0,m=,此时P(0,),Q(4,),以PQ为直径的圆为(x﹣2)2+(y﹣)2=4,交x轴于点M1(1,0)或M2(3,0)
取k=,m=2,此时P(1,),Q(4,0),以PQ为直径的圆为(x﹣)2+(y﹣)2=,交x轴于点M3(1,0)或M4(4,0)
故若满足条件的点M存在,只能是M(1,0),证明如下
∵
∴
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(1,0)
3.(2012广东理科)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的离心率,且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
解:(1)由得a2=3b2,椭圆方程为x2+3y2=3b2
椭圆上的点到点Q的距离=
①当﹣b≤﹣1时,即b≥1,得b=1
②当﹣b>﹣1时,即b<1,得b=1(舍)
∴b=1
∴椭圆方程为
(2)假设M(m,n)存在,则有m2+n2>1
∵|AB|=,点O到直线l距离
∴=
∵m2+n2>1
∴0<<1,∴
当且仅当,即m2+n2=2>1时,S△AOB取最大值,
又∵
解得:
所以点M的坐标为或或或,△AOB的面积为.
4.(2012•广东文科)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:(a>b>0)的左焦点为F1(﹣1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程
.
解.(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(﹣1,0),所以c=1,
点P(0,1)代入椭圆,得,即b=1,
所以a2=b2+c2=2
所以椭圆C1的方程为.
(2)直线l的斜率显然存在,
设直线l的方程为y=kx+m,
由,消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
因为直线l与椭圆C1相切,
所以△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0
整理得2k2﹣m2+1=0①
由,消去y并整理得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0
因为直线l与抛物线C2相切,所以△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=0
整理得km=1②
综合①②,解得或
所以直线l的方程为或.
5.(2012•北京文科)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A (2,0),离心率为,直线y=k(x﹣1)与椭圆C交于不同的两点M,N
(Ⅰ)求椭圆C的方程
(Ⅱ)当△AMN的面积为时,求k的值.
解:(Ⅰ)∵椭圆一个顶点为A (2,0),离心率为,
∴
∴b=
∴椭圆C的方程为;
(Ⅱ)直线y=k(x﹣1)与椭圆C联立,消元可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣4=0
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,
∴|MN|==
∵A(2,0)到直线y=k(x﹣1)的距离为
∴△AMN的面积S=
∵△AMN的面积为,
∴
∴k=±1.
6.(2012•湖北理科)如图,双曲线﹣=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,