文档介绍:2010考研基础班线性代数
主讲:尤承业
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考研基础班线性代数讲义
第一讲基本概念
线性代数的主要的基本内容:线性方程组矩阵向量行列式等
线性方程组的一般形式为:
其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.
线性方程组的解是一个n个数,, …, 构成,它满足:当每个方程中的未知数都用替代时都成为等式.
对线性方程组讨论的主要问题两个:
(1)判断解的情况.
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.
如果两条直线是相交的则有一个解;如果两条直线是重合的则有无穷多个解;如果两条直线平行且不重合则无解。
(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.
齐次线性方程组: ,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解.
因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).
矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.
矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m行n列的表格称为m´n矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i行j列的元素称为(i,j)位元素.
是一个2´3矩阵.
对于上面的线性方程组,称矩阵
和
为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.
2009年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为
,常数列为,则方程组为
由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.
零矩阵::分量都是0的向量.
2. 矩阵和向量的关系
书写中可用矩阵的形式来表示向量:写成一行或写成一列.
问题:(3,-2,1)和是不是一样?
作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1´3矩阵,右边是3
´1矩阵****惯上把它们分别称为行向量和列向量.
一个m´n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.
3. n阶矩阵与几个特殊矩阵
n´n的矩阵叫做n阶矩阵.
把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)
下面列出几类常用的n阶矩阵:
对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.
数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵.
单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).
上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.
下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.
对称矩阵:,j,(i,j)位的元素和(j,i) 位的元素总是相等的n阶矩阵.
问题:下列矩阵都是什么矩阵?
①②③
④⑤
对角矩阵: ①、②、⑤
上三角矩阵: ①、②、③、⑤
下三角矩阵: ①、②、⑤
对称矩阵: ①、②、④、⑤
三. 线性运算和转置
是矩阵和向量所共有的.
①加(减)法:两个m´n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m´n矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).
两个同维数的向量可以相加(减),规则为对应分量相加(减).
②数乘: 一个数c与一个m´n的矩阵A可以相乘,乘积仍为m´n的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.
一个数c与一个n维向量可以相乘,乘积仍为n维向量,.
向量组的线性组合:设,…,是一组n维向量, , ,…, 是一组数,则称为,…,的(以, ,…, 为系数的线性组合.
例:求矩阵的列向量组的系数为1,1,1的线性组合.
解:
把一个m´n的矩阵A行和列互换,得到的n´m的矩阵称为A的转置,记作.
四. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵
矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.
初等行变换:
①交换两行的位置.
②用一个非0的常数乘某一行的各元素.
③把某一行的倍数加到另一行上. A®B.
:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:
①如果它有零行, 非零行,则都零行在下,非零行在上.
②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.
问题:对角矩阵,上三角矩阵,数量矩阵中,哪个一定是阶梯形矩阵?
一个n阶的阶梯形矩阵一定是上三角矩阵.
问题:如果A是阶梯形矩阵.
(1) A去掉一行还是阶梯形矩阵吗?
(2) A去掉一列还是阶梯形矩阵吗?
3. 简单阶梯形矩阵
把阶梯形矩阵的每