线性系统理论（第四章）.pdf

文档介绍：第四章第四章
线线性系性系统统的时间的时间域域理论理论
第4章系统运动的稳定性
稳定性是系统的另一个重要特征。
系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。
实际系统必须是稳定的。
外部稳定性:通过输入—输出关系来表征。
内部稳定性:零输入下状态运动的响应来表征。
满足一定的条件,内部稳定性和外部稳定性之间存在等价
关系。
001
第四章第四章
讨论内部稳定性。
李亚普诺夫方法()
线性系统非线性系统;
定常系统时变系统;
连续时间系统离散时间系统
002
第四章第四章
外部稳定性和内部稳定性
u外部稳定性
考虑一个线性因果系统,如果对应于一个有界的输入 ut(),
即满足条件:
u(t)£k10<¥,,"ttÎ¥[ )
的输入 ut(),所产生的输出 yt()也是有界的,即成立
y(t)£k20<¥,,"ttÎ¥[ )
则称此因果系统是外部稳定的,即有界输入—有界输出稳定
的,简称为 B I B O 稳定。
必须假定系统的初始条件为零,才是唯一的和有意义的。
003
第四章第四章
范数是定义在线性空间上的一个非负实值函数。
如果 V 是数域 K 上的一个线性空间,xVÎ 是任意一个向
量,x 对应一个非负实数 x ,这个非负实数满足下列三个
条件:
(1)当 x ¹ 0 时, x > 0 ,当 x = 0 时, x = 0 。
(2)对任意常数αÎ K ,有ααxx= 。
(3)对任意向量 x, yVÎ ,成立“三角不等式”
x+y£+xy
这样的函数 x 称为 x 的范数。
004
第四章第四章
判别准则
结论 1 [ 时变系统]
对于零初始条件的线性时变系统,表 Gt(,)τ为其脉冲响
应矩阵,则系统为 B I B O 稳定的充分必要条件是,存在一
个有限常数 k ,使对于一切 ttÎ¥[ 0 , ) ,Gt(,)τ的每
一个元 gij (t,τ)(i==1,2,LL,q;jp1,2,,)
t
均满足关系式: g(t,)ττdk£<¥
òt ij
0
005
第四章第四章
证明:分成两步来证明
首先,考虑 pq==1 ,即单输入—单输出的情况。
t
先证充分性:已知 g(t,)ττdk£<¥ 成立,
ò t
0
且任意输入 ut()满足 u(t)£k10<¥,,ttÎ¥[ )
那么利用由脉冲响应函数 gt(,)τ表示的输出 yt()的表达式
tt
就可得到 y(t)=£g(t,τ)u(τ)dτg(t,τ)ud()ττ
òòtt
00
t
£kg(t,)ττd£kkk=<¥
1òt12
0
从而由定义知系统为 B I B O 稳定。
006
第四章第四章
证必要性:采用反证法,设存在某个 tt10Î¥[ , ) ,
t
使 1 g(td,)ττ=¥
ò t
0
则定义如下的一个有界输入
ì +>1,当 g(t1 ,t )0
ï
u(t)=sgng(t1 ,tt)==í 0,当 g(t1 ,)0
ï
î ­<1,当 g(t1 ,t)0
考察由它作用下所产生的输出 yt(),易知
tt11
y(t1)=g(t11,τ)u(τ)dτ=g(td,)ττ=¥
òòtt
00
表明输出无界,与 B I B O 稳定相矛盾。
t
即 g(t,ττ)d£k<¥,,"ttÎ¥[ 0 )
òt0 007
第四章第四章
多输入—多输出情况
系统输出 yt()的分量 yti ()满足关系式
t
y(t)=éùg(t,τ)u(τ)++Lg(t,τ)ud()ττ
iòtëûi11 ipp
0
tt
£g(t,τ)u(τ)dτ++Lg(t,τ)ud()ττ
òòtti11 ipp
00
有限个有界函数之和仍为有界,可证得此结论。
008
第四章第四章
结论 2 [ 定常系统]
对于零初始条件的线性定常系统,表初始时刻 t 0 = 0,
Gt()为其脉冲响应矩阵,Gsˆ()为其传递函数矩阵,则系统
为 B I B O 稳定的充分必要条件是,存在一个有限常数 k ,
Gt() 的每一个元 gij (t)(iq= 1,2,L ,;
jp= 1,2,L ,)均满足关系式:
¥
g()tdtk£<¥
ò 0 ij
或等价地,当 Gsˆ()为真的有理分式函数矩阵时,Gsˆ()的
每一个元传递函数 gsˆ ij ()的所有极点均具有负实部。
009
第四章第四章