文档介绍：第二章第二章
线线性系性系统统的时间的时间域域理论理论
第2章线性系统的运动分析
状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。
进行分析的目的:揭示系统状态的运动规律和基本特性。
u分析分为定量分析和定性分析。
定量分析:对系统的运动规律进行精确的研究,即定量地确
定系统由外部激励作用所引起的响应。
001
第二章第二章
定性分析:对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的
几个关键性质,如能控性、能观测性和稳定性等,进行定性
分析。
引言
运动分析的实质
状态方程为: x&=+A(t)xB()tu
x(t0)=Îx00,,t[]ttα
或 x& =Ax+Bu,x(0)=³xt0 ,0
002
第二章第二章
分析:从数学模型出发,定量地和精确地定出系统运动的变
化规律,为系统的实际运动过程作出估计。
数学:给定初始状态 x0 和外输入作用 u ,求解出状态方程
的解。
由初始状态和外输入作用所引起的响应。
系统的运动是对初始状态和外输入作用的响应,但运动的形
态主要是由系统的结构和参数所决定的,即由参数矩阵所决
定的。
状态方程的解 xt()给出了系统运动形态对系统的结构和参数
的依赖关系。
003
第二章第二章
u解的存在性和唯一性条件
状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时,对系统的运动
分析才有意义。
时变系统而言,矩阵 At()和 Bt()的所有元在时间定义区间
tt,
[ 0 α] 上均为 t 的实值连续函数,而输入 ut()的元在时间
定义区间[tt0 , α] 上是连续实函数,则其状态方程的解 xt()
存在且唯一。
这些条件对于实际的物理系统总是能满足的,但从数学的观
点而言,条件太强了,将其减弱为:
004
第二章第二章
① At()的各元 atij ()在[tt0 , α]上是绝对可积的,
tα
即: a(t)dt<¥=,i,jn1,2,,L
òt ij
0
② Bt()的各元 btik ()在[tt0 , α]上是平方可积的,
tα 2
即: []b(t)dt<¥,i==1,2,LL,n,kp1,2,,
òt ik
0
ut()
③的各元 utk ()在[tt0 , α]上是平方可积的,
tα 2
即: []u(t)dt<¥=,kp1,2,,L
òt k
0
005
第二章第二章
利用许瓦兹不等式有
p
t
α b(t)u()tdt
å òtikk
k=10
1
p 2
éùttαα22
£ [bikk(t)]dt []u()tdt
å êúòòtt
k=1ëû00
②和③等价于 B(t)ut()的元在区间[tt0 , α]上绝对可积。
对于线性定常系统:系数矩阵 A 和 B 均为常阵,只要其元
的值为有限值,则条件满足,解存在且唯一。
006
®
第二章第二章
u零输入响应和零状态响应
线性系统满足叠加原理
在初始状态和输入向量作用下的运动,分解为两个单独的分
运动。
初始状态® 自由运动。
输入作用® 强迫运动。
自由运动:系统的自治方程
x& =A(t)x,x(t0)=Îx00,,t[ttα]
的解,φ(t;tx00,,0) ,零输入响应。
007
第二章第二章
强迫运动:系统在零初始状态下的强迫方程
x& =A(t)x+B(t)u,x(t0)=Îx00,,t[ttα]
的解,φ(t;tu0 ,0,),零状态响应。
系统响应:
φ(t;t0,x0,u)=+φφ(t;t0,x00,0)(t;tu,0,)
008
第二章第二章
线性定常系统的运动分析
u零输入响应
自治方程: u=0,x& =Ax,x(0)=³xt0,0
其中, x 为 n 维状态向量, A 为 nn´ 常阵。
nn´ 的矩阵函数:
11¥
eAt=I+At+A22t+=LåAtkk
2!!k =0k
称为矩阵指数函数。
009
第二章第二章
对线性定常系统的零输入响应
结论 1
x& =Ax,x(0)=³xt0 ,0所描述的线性定常系统的零
输入响应的表达式为:
At
φ(t;0,x00,0)=³ext,0
矩阵指数函数的性质和计算方法
基本性质
① limeIAt =
t®0
010