文档介绍：2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
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第一试
一、选择题(每小题5分,共50分)
,b为实数,集合表示把集合M中的元素x映射到集合
P中仍为x,则a+b的值等于( )
A.-1 D.
,则的解析式是 ( )
A. B. C. D
,则实数a的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
,记
则数列{}的前10项和为( )
A. B. C. D.
,设P为△ABC内一点,且,
则△ABP的面积与△ABC的面积之比为( )
A. B.
C. D.
则角的取值范围是( )
A. B. C. D.
,m>n≥,若取出的两个球是同色的概
率等于取出的两个球是异色的概率,则满足关系m+n≤40的数组(m,n)的个数为( )
( )
A. B. C. D.
,在正方体中,P为棱AB上一点,过点P在空间作直线l,
使l与平面ABCD和平面AB均成角,则这样的直线l的条数为( )
B .2 D .4
,从双曲线的左焦点F引圆的切线,,O为坐标原点,则与的大小关系为( )
A. B. C.
二、填空题(每十题6分,共30分)
,且,则
,铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为,能包容此框架的最小球的半径为,则等于
,且,若则的值是
,b,c成等差数列,则直线ax+by+c = 0被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为
第二试
一、(50分)设是函数的反函数图象上三个不同点,且满足的实数x有且只有一个,试求实数a的取值范围.
二、(20分)已知x、y、z均为正数
(1)求证:
(2)若,求的最小值
三、(20分)已知,设,记
(1)求的表达式;
(2)定义正数数列。试求数列的通项公式。
四、(30分)如图4,△ABC的内心为I,过点A作直线BI的垂线,垂足为H,设D、E分别为内切圆I与边BC、CA的切点,求证:D、H、E三点共线
五、(30分)如图5,已知抛物线C:,F为C的焦点,l为准线,且l交x轴于E点,过点F任意作一条直线交抛物线C于A、B两点。
(1)若,求证:;
(2)设M为线段AB的中点,P为奇素数,且点M到x轴的距离和点M到准线l的距离均为非零整数,求证:点M到坐标原点O的距离不可能是整数。
参考答案
由题设得M=P,从而。
由,于是
因为解得
当时,,
故
如图1,设
,由平行四边形法则知
NP//AB,所以,
方法1:由因为
方法2:原不等式可变形为构造函数,
则原不等式为易知在R上是增函数,因此