文档介绍：第七章二阶电路
一、教学基本要求
1、了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应的物理意义和概念。
2、会分析简单的二阶电路。
二、教学重点与难点
1. 教学重点: (1).二阶电路的方程和特征根
(2). 二阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的概念
(3). 二阶电路过渡过程的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼的概念及分析
(4). 二阶电路的阶跃响应。
:、电容的元件特性建立动态电路方程;
2. 二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方法和基本物理概念。
三、本章与其它章节的联系:
本章讨论的仍是线性电路,因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第 9 章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。
四、学时安排总学时:2
教学内容
学时
二阶电路的零输入响应、二阶电路的零状态响应
2
五、教学内容
§ 二阶电路的零输入响应
二阶电路是指用二阶微分方程来描述的电路。下面主要通过分析RLC 串联电路来说明求二阶电路响应的方法。
图
=0时刻闭合开关,设电容原本充有电压U0,此电路的放电过程是二阶电路的零输入响应问题。电路的KVL方程及元件的VCR为:
若以电容电压为变量,从以上方程中消去其他变量得二阶齐次微分方程:
初始条件为: u C (0+)= U 0 , i (0+)=0 ,或
若以电感电流为变量,则方程为:
初始条件为: i (0+)=0 ,
根据得:
以电容电压为变量,电路方程为:
从中得特征方程:
特征根为:
上式表明特征根仅与电路参数和结构有关,而与激励和初始储能无关。当R、L、C的参数不同,特征根为不同的形式。下面分三种情况讨论。
(1)当时,特征根为两个不相等的负实根,电路处于过阻尼状态。
此时方程的解为:
由初始条件: ,
得: 即:
因此电容电压为:
电流为:
电感电压为:
、电流和电感电压随时间变化的波形,从中可以看出,电容电压和电流始终不改变方向,且最终衰减至零,说明电容始终在释放能量,称过阻尼放电。。
=tm时,iC取得最大值,t=2tm时,uL为极小值。通过对电流求导,可计算时间tm。即:
图
→→
图
(2) 当时,特征根为两个共轭复根,电路处于振荡放电状态。令:
则特征根为:
电容电压的 uC 的通解形式为:
经常把上式写成三角函数形式:
故把ω称为振荡频率。
通解中待定常数 A , b 根据初始条件确定,即:
联立求解以上方程得:
由于ω、ω0、δ、b :
所以
则
图 图
图 给出了电容电压和电流随时间变化的波形,从中可以看出,波形呈衰减振荡的状态,在整个过渡过程中电容电压和电流周期性的改变方向,表明储能元件在周期性的交换能量,处于振荡放电。在半个周期里能量的转换过程如图 所示。
 
图
若 RLC 振荡回路中的电阻 R=0 ,则产生等幅振荡放电。此时有:
(3)当时,特征根为两相等的负实根,电路处于临界阻尼状态。
特征根为:
方程的通解为:
根据初始条件得:
解得:
从以上诸式可以看出,电压和电流具有非振荡的性质,,波形呈衰减状态,然而,这种过程是振荡与非振荡过程的分界线,所以称为临界阻尼状态,这时的电阻称为临界电阻。
总结以上分析过程得用经典法求解二阶电路零输入响应的步骤:
1)根据基尔霍夫定律和元件特性列出换路后的电路微分方程,该方程为二阶线性齐次常微分方程;
2)由特征方程求出特征根,并判断电路是处于衰减放电还是振荡放电还是临界放电状态,三种情况下微分方程解的形式分别为:
特征根为两个不相等的负实根,电路处于过阻尼状态:
特征根为两个相等的负实根,电路处于临界阻尼状态:
特征根为共轭复根,电路处于衰减振荡状态:
3)根据初始值确定积分常数从而得方程的解。
以上步骤可应用于一般二阶电路。
例7-1 图示电路在t<0时处于稳态,t=0时打开开关, 求电容电压uC并画出其变化曲线。
例 7 — 1 图( a ) ( b )
解:求解分三步:
(1)首先确定电路