文档介绍：不等式性质及证明

比较两实数大小的方法——求差比较法
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定理1:若,则;若,。
说明:把不等式的左边和右边交换,所得不等式与原不等式异向,称为不等式的对称性。
定理2:若,且,则。
说明:此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数;定理2称不等式的传递性。
定理3:若,则。
说明:(1)不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向;
(2)定理3的证明相当于比较与的大小,采用的是求差比较法;
(3)定理3的逆命题也成立;
(4)不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边。
定理3推论:若。
说明:(1)推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出;(2)这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即:两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;(3)同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;异向不等式:两个不等号方向相反的不等式
,那么;如果且,那么。
推论1:如果且,那么。
说明:(1)不等式两端乘以同一个正数,不等号方向不变;乘以同一个负数,不等号方向改变;(2)两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向;(3)推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向。
推论2:如果, 那么。
定理5:如果,那么。

定理1:如果,那么(当且仅当时取“”)。
说明:(1)指出定理适用范围:;(2)强调取“”的条件。
定理2:如果是正数,那么(当且仅当时取“=”)
说明:(1)这个定理适用的范围:;(2)我们称的算术平均数,称的几何平均数。即:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
:比较法、综合法和分析法,它们是证明不等式的最基本的方法。
(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式