文档介绍：第六章拉普拉斯变换
1. 双边拉普拉斯变换;
2. 双边拉普拉斯变换的收敛域;
3. 常用信号的拉氏变换;
4. 零极点图与系统函数;
5. 双边拉普拉斯变换的性质;
6. 单边拉普拉斯变换;
7. 利用单边拉氏变换分析增量线性系统;
本章基本内容:
引言(Introduction):
傅里叶变换是以复指数函数中的特例,即以和为基底分解信号的。而对于更一般的复指数函数和也理应能够以此为基底对信号进行分解。
傅里叶分析方法在信号与LTI系统分析中如此有用,很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合,而复指数函数是一切 LTI 系统的特征函数。
通过本章及下一章,会看到拉氏变换和Z变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质,不仅能适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统分析问题,而且还能解决傅里叶分析方法不能适用的许多方面。
拉氏变换与Z变换的分析方法是傅里叶分析方法的推广,傅里叶分析是它们的特例。
将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。
拉普拉斯变换( The Laplace Transform):
复指数信号是一切连续时间LTI系统的特征函数。如果LTI系统的单位冲激响应为,则系统对产生的响应是:
其中
当时,就是连续时间傅里叶变换。
一. 定义:
称为的双边拉氏变换。其中
若, 则:
就是的傅里叶变换。
表明:连续时间傅里叶变换是拉氏变换在,
或是在轴上的特例。
由于
所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广, 的拉氏变换就是的傅里叶变换。只要有合适的存在,就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号,在引入后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。因此,拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
如果在收敛,则有:
表明傅立叶变换就是拉氏变换在轴上的表现。
由傅立叶反变换有:
由得
当从时, 从
拉氏反变换
拉氏变换的物理含义:
可以被分解成复振幅为
的复指数信号的线性组合。
拉氏变换的收敛域( Region of Convergence ):
:
使存在的 s 的取值范围称为的收敛域。
由于
ROC与有关,它就是
使绝对可积的那些的取值范围。这表明ROC由决定。
例1.