文档介绍：第十二章圆
第一节圆的基本问题
【知识点拨】
1、不在同一直线上的三点可以确定一个圆。
2、圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,它具有旋转对称性。这是圆最基本最重要的性质,是证明垂径定理的有力工具。
3、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这弦对的两条弧。
实际上,一直线只要满足(1)经过圆心、(2)垂直于弦、(3)平分弦、(4)平分弦所对的弧中的一条、(5)平分弦所对弧中的另一条;在这五条中,只要有两条是正确的,则其他三条必然成立。
4、如图,它是关于垂径定理及其推论的基本图形,一定要很好掌握。
【赛题精选】
例1已知⊙O的半径为5cm,它的两条弦长是方程的两个根。求这两条平行弦间的距离。
【说明】(1)要注意定理的条件及选择;(2)关于垂径定理及推论的基本图形要记清;(3)要能考虑到图中的两条平行弦相对于圆心有两种可能的位置关系。
例2如图,⊙O是锐角△ABC的外接圆,H是两条高的交点,OG⊥BC于G。
求证:AH=2OG。
例3⊙O的半径为2,其内一点P到圆心的距离为1,过点P的弦与劣弧组成一弓形,求此弓形面积的最小值。
【说明】圆的旋转对称性是圆的最基本的性质,要善于抓住这一性质处理相关问题。
例4在△ABC中,AC=24,BC=10,AB=26,则它的内切圆半径为( )
A、 B、4 C、13、 D、8
【说明】(1)此法对求任何三角形的内切圆的半径均适用;(2)另本题还可用切线长定理求解。
例5如图,⊙O1、⊙O2交于点A、B,过A的直线分别交⊙O2、⊙O3于M、N,C为MN的中点,P为O1O2的中点。
求证:PA=PC。
【说明】本例主要用垂径定理证明,如按下图作两圆的直径AE、AF,延长AP交EF于G也可证明。
【针对训练】
第二节和圆有关的角
【知识点拨】
和圆有关的角有五种:圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角。圆周角是五种角的核心。本节只探讨前四种与圆有关的角,其中后两种角的概念及这四种角的有关性质如下:
顶点在圆内的角叫圆内角(圆心角是圆内角的特殊情形);
顶点在圆外,两边与圆相交的角叫圆外角;
度数定理
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两条弧度数和的一半。
圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差的绝对值的一半。
同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。
直径(或半圆)所对的圆周角是直角;圆周角是直角,它所对的弦是直径。
如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
在以圆为框架的有关证明三角形全等、相似等问题,常常要用到这些角,因此,熟练地掌握这些角的概念和性质是解决有关圆问题中极其重要的一环。
【赛题精选】
例1锐角△ABC内接于⊙O,∠ABC=600,∠BAC=360,作OE⊥AB交劣弧于点E,连接EC,求∠OEC。
【说明】(1)在平面几何中求角的大小经常需要考虑用三角形的内角和定理及其推论;
(2)在圆中求角的大小经常需用与圆有关的角的定理。
例2已知在等腰△ABC中,AB=AC,D为腰AC中点,DE平分∠ADB交AB于E,⊙ADE交BD于N。求证:BN=2AE。
【说明】
(1)在同圆或等圆中,同弧和等弧不仅所对的圆心角、圆周角相等,而且弦也相等;
(2)在圆中证明三角形全等、相似时,如需用角时常需考虑与圆有关的角;
(3)本例中的两条线段AE、BN较为分散,把它们聚合到同一三角形BNE中就易于解决问题;
(4)如图,本例中过A、E、D的圆与BD的延长线交于N点时的证法,可以自行证明。
例3已知M为劣弧的中点,B为上任一点,MD⊥BC于D。
求证:AB+BD=DC。
【说明】证明一线段等于另两线段之和一般可采用“接短法”或“截长法”。
例4已知圆内四边形ABCD的对角线互相垂直,过点A、B作CD的垂线(垂足为A1、B1)分别交对角线AC、BD于M、K。
求证:四边形AKMB是菱形。
【说明】(1)要证明四边形是一特殊平行四边形,一定要抓住有关概念和有关判定定理采用分层推进、各个击破的方法逐一证得所需的条件;
(2)在寻找具体方法时要结合题中具体条件和图形,选择适当的证明方法。
例5⊙O内有两条互相垂直的弦AC、BD。
求证:AB2+BC2+CD2+DA2=定值。
【说明】在处理探索问题时除了常用的特殊位置来探求结果,还经常考虑一些极端情形,以求获得探索结果。如D重合于A时,即有AD=0、BC=2R,故AB2+BC2+CD2+DA2=AB2+BC2+CA2=2×(2R)2=8R2。
例6已知折线ACD是⊙O的一条折弦,点B在⊙O上,且=,BM