文档介绍：第十三章拉普拉斯变换
一、教学基本要求
1、了解拉普拉斯变换的定义,会用拉普拉斯变换基本性质求象函数。
2、掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法,.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路。
3、掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。
二、教学重点与难点
教学重点:1. 拉普拉斯反变换部分分式展开;
2. 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路;
3. 应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。
教学难点:1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法;
2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。
三、本章与其它章节的联系:
是后续各章的基础,是前几章基于变换思想的延续。
四、学时安排总学时:6
教学内容
学时
2
2
、运算阻抗和运算导纳、运算电路
2
,习题
2
五、教学内容
§13-1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换,其核心是把时间函数 f(t) 与复变函数 F(s) 联系起来,把时域问题通过数学变换为复频域问题,把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程,在求出待求的复变函数后,再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效,所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
2. 拉普拉斯变换的定义
一个定义在[0,+∞] 区间的函数 f(t) ,它的拉普拉斯变换式 F(s) 定义为
式中s=σ+jω为复数,被称为复频率;F(s)为f(t)的象函数,f(t)为F(s)的原函数。
由 F(s) 到 f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换,它定义为
式中 c 为正的有限常数。
注意:
(1)定义中拉氏变换的积分从 t=0- 开始,即:
它计及 t=0- 至 0+ ,f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值,从而为电路的计算带来方便。
(2)象函数 F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s),U(s) ,原函数f(t) 用小写字母表示,如i(t),u(t)。
(3)象函数 F(s) 存在的条件:
(1) 单位阶跃函数的象函数
(2)单位冲激函数的象函数
(3) 指数函数的象函数
§13-2 拉普拉斯变换的性质
。
表 13-1 拉氏变换的若干性质和定理
特性和定理
表达式
条件和说明
线性
a 、 b 为常数
位移特性
时域延迟
为一非负实数
频域延迟
微分
若所有初值为零,则有
积分
 
初值定理
或
存在
终值定理
或
所有奇点均在 s 平面左半部
卷积定理
为与的卷积
应用拉氏变换的性质,。
表 13-2 拉氏变换简表
1
Cos at
Sin( at )
Cosh at
Sinh( at )
 
 
例13-1
已知,求函数的像函数。
解:
例13-2 已知,求 f(t)= 的象函数。
解: 根据积分性质和时域延迟性质
例13-3 求函数的像函数。
解:
例13-4 求函数的像函数。
解:根据微分性质,因为
,所以
例13-5 求函数的像函数。
解: 根据频域导数性质有:
例13-6 求函数的像函数。
解: 根据频域导数性质有:
例13-7 求函数的像函数。
解: 根据频域导数性质有:
§13-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时,需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法有:
(1) 利用公式
(2) 对简单形式的 F(S) 可以查拉氏变换表得原函数
(3) 把 F(S) 分解为简单项的组合,也称部分分式展开法。
则
用部分分式法求拉氏反变换(海维赛德展开定理),即将展开成部分分式,成为可在拉氏变换表中查到的的简单函数,然后通过反查拉氏变换表求取原函数。
设,的阶次不高于的阶次,否则,用除,以得到一个的多项式与一个余式(真分式)之和。部分分式为真分式时,需对为分母多项式作因式分解,求出=0的根。
设象函数的一般形式:
即 F(s