文档介绍：学案6 空间向量及其运算
返回目录
(1)定义:与平面向量一样,在空间,我们把具有和的量叫做空间向量,向量的
叫做向量的长度或模.
大小
方向
大小
考点分析
返回目录
(3)特殊向量
①零向量:我们规定, 的向量叫做零向量,记为.
②单位向量: 的向量称为单位向量.
③相反向量: ,
称为a的相反向量,记为-a.
(2)表示方法:与平面向量一样,,向量a的起点是A,终点是B,则向量a 也可以记作AB,其模记为或.
|a|
|AB|
长度为0
0
模为1
与向量a长度相等而方向相反的向量
④相等向量: ,在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
(1)定义:实数λ与空间向量a的乘积仍是一个向量,称为向量的数乘运算.
(2)向量a与λa的关系
①当λ>0时,λa与a方向.
②当λ=0时,λa= .
③当λ<0时,λa与a方向.
④λa的长度是a的长度的倍,即|λa|= .
返回目录
方向相同且模相等
λa
相同
0
相反
|λ|
|λ||a|
(3)运算律
①分配律:λ(a+b)= .
②结合律:λ(μa)=(λμ)a.
(1)共线向量的定义
与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线,则这些向量叫做共线向量或平行向量.
(2)共线向量定理
对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使.
(3)共线向量的推论
返回目录
λa+λb
互相平行或重合
a=λb
如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对于空间任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+ta ①,
其中a叫做直线l的.
如图所示,若在l上取AB=a,
则①式可化为OP= .
(1)共面向量的定义:
通常把的向量,叫做共面向量.
(2)共面向量定理:
返回目录
方向向量
OA+tAB
平行于同一个平面
如果两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的实数对(x,y),使p=xa+yb.
(3)共面向量定理的推论:
如图,空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使MP= . 或对空间一点O来说,有OP=OM+xMA+yMB.
已知两个向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,则叫做向量a与b的夹角,记作,范围为,如果<a,b>= ,则称a与b ,记作.
返回目录
xMA+yMB
非零
∠AOB
<a,b>
[0,π]
互相垂直
a⊥b
已知两个非零向量a,b,则叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b= .
零向量与任何向量的数量积为0.
特别地,a·a= = .
空间向量的数量积满足如下的运算律:
(1)(λa)·b=λ(a·b);
(2)a·b=b·a(交换律);
(3)a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).
返回目录
|a|·|b|·cos<a,b>
|a|·|b|cos<a,b>
a2
|a|2
定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得.
由此可知,如果三个向量a,b,c不共面,,b,c生成的,我们把
叫做空间的一个基底, 都叫做基向量,空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
返回目录
p=xa+yb+zc
{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}
{a,b,c}
a,b,c
设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底),以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O—,对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合,得到向量OP=,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3.
我们把x,y,z称作,记作.
此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系O—xyz中的坐标(x,y,z).
返回目录
向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标
p=(x,y,z)