文档介绍：材料力学
第九章应力与应变分析
Analysis of Stress & Strain
导言 Introduction
l
a
a
k
前面我们介绍了在拉(压)、剪切、扭转、弯曲四种基本变形下的强度计算和刚度计算,以及其相应的应力、变形计算公式。对图示梁上C-截面上的k点(翼缘与腹板交点下侧),既有M(=Pa)引起的s又有Q(=P)引起的t,其强度条件应是什么形式?组合变形(拉弯、扭弯、…)的截面如何确定最危险点及建立相应的强度条件?为解决这些问题,需要
研究构件上一点的应力随截面方位的变化而改变的规律。即一点的应力状态。
我们可以用三对相互垂直的平面,绕此点(M)取出一个微小的正六面体(如图,通常叫:微单元体Element)。用此微元体三个相互垂直的平面上的应力来表征此点(M)的应力状态。并可将其用一个二阶张量(Tensor)来描述。
§9-1 应力状态的概念 I. Stress state at a point
M
因为两者表示同一点M的应力状态,其各分量间必然有一定的相互转换规律。这些规律的数学形式是什么?
弹性理论已经证明,物体内任一点的应力存在三个主平面(Principal planes,其上τ≡0),其上的应力(б1≥б2≥б3)叫该点的主应力(Principal stresses)。且这三个主平面相互垂直,围成一个叫主单元体(Element of Principal Stresses)的微元体。
在§1-7我们讲了某点的应力随所选截面方向改变而改变。过一点各方向截面上应力矢量的集合称为该点的应力状态。但怎样描述一点的应力情况——一点的应力状态?
当M点的微元体坐标Oxyz改变为Ox1y1z1时,有:
§9-1 应力状态的概念 II. Principal Stress and Classification of Stresses State
根据一点的主应力大小,我们通常将一点的应力状态分为三类:
Stress State
б1≠0,б2=б3=0(拉) or б1=б2=0,б3≠0(压)
如轴向拉压杆上任一点。梁的上下边沿各点
Stress State(or 平面应力状态Plane Stress State):б1,б2,б3中有,且只有一个为0。
如前面梁上AC段内上下边沿以外的各点。
3 .三向应力状态Triaxial Stress State(or 空间应力状态Spacial Stress State):б1>б2>б3均不为0。
如:火车车轮与钢轨的接触应力。
其中1又叫简单应力状态Simple Stress State
2,plex Stress State
§9-2 平面应力状态分析(I基本公式) Stress Analysis of Plane Stress State
如右图,我们由微三棱柱bef来求截面法线n与x轴夹a角的任意斜截面上的应力sa,ta与sx,sy,tx(=-ty),
a的关系(其中a以由x轴正向到斜截面外法线为逆时针转为正,反之为负。 sa以受拉为正,反之为负。 ta(与tx , ty一样)以绕微元体内任一点为顺时针转为正,反之为负。
设ef面的面积为dA;则:eb面—dAcos a
fb面—dAsin a
在杆件中,我们经常遇到的一点之应力状态为单向应力状态或平面应力状态。一般的空间应力状态在杆件中很少出现,通常在弹性力学中讨论。我们现在来研究平面应力状态下与零主应力平面垂直的任意斜截面上的应力。
由得:
§9-2 平面应力状态分析(I基本公式) Stress Analysis of Plane Stress State
由得:
由剪应力互等定理知(|ty|=|tx|),注意到图中tx方向为正,故|ty|=tx,
利用
化简上两式,得:
如以代入上两式,易得与a斜面垂直的另一斜面上的正应力和剪应力。且有:
§9-2 平面应力状态分析(II应力圆) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)
下面介绍应力圆的作法:
由基本公式易得:
将此两式分别平方,然后对应相加,可得:
此式表示一圆的方程,如图所示。
此圆叫相应单元体的应力圆(or摩尔圆Mohr’s Circle)。在Ost坐标系中,其圆心在s轴上。圆心与坐标原点O的距离为:
其半径为:
§9-2 平面应力状态分析(II应力圆) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)
对图a所示平面应力状态微元体(已知:sx,sy,tx时),作应力