文档介绍：中国科学: 数学 2015 年第 45 卷第 1 期: 31 ∼ 42
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Bergman-Hartogs 型域的全纯自同构群
潘利双∗, 王安
首都师范大学数学科学学院, 北京 100048
E-mail: plshuang123@, u.
收稿日期: 2014-01-17; 接受日期: 2014-11-20; * 通信作者
国家自然科学基金(批准号: 11371257) 和北京市自然科学基金(批准号: 1122010) 资助项目
摘要我们考虑一类以有界对称域 D 为底的 Bergman-Hartogs 型域
m1 mr 2p1 2pr −q
Ω= {(w(1), . . . , w(r), z) ∈ C × · · · × C × D : ∥w(1)∥+ · · · + ∥w(r)∥< KD(z, z) },
其中 KD(z, z) 是 D 上的 Bergman 核函数, r > 1 且为正整数, 参数 p1, . . . , pr > 1 和 q > 0 为实数. 我
们给出它的全纯自同构群, 并且证明当 r = 1 时此自同构群为最大全纯自同构群; 当 r > 1 时, 若Ω的
全纯自同构变换 F 将(0, z) ∈{0} × D 映到(0, z∗) ∈{0} × D, 则 F 在我们给出的全纯自同构群中.
关键词 Bergman-Hartogs 型域全纯自同构群有界对称域
MSC (2010) 主题分类 32A07, 32M05
1 引言
设Ω 中的有界域, 并记 Aut(Ω) 为将Ω映到Ω的双全纯映射的全体构成的集合. 显然,
Aut(Ω) 中的变换在映射的复合运算下构成一个群, Aut(Ω) 称为Ω的全纯自同构群.
域的全纯自同构群是多复变中研究许多问题的有力工具. 例如, 对于函数空间理论, Bergman 核函
数以及域的全纯等价等问题的研究, 全纯自同构群都起到了很大的作用. 因为全纯自同构群的重要性,
所以它被广泛地关注和研究. Cn 中的单位球和单位多圆盘的全纯自同构群是我们所熟知的. 但是确
定一个域的全纯自同构群是很困难的, 尤其是给出最大全纯自同构群. 华罗庚[1] 给出了 4 类 Cartan
域的全纯自同构群. Xu [2,3] 给出了两类例外 Cartan 域的全纯自同构群. Ahn 等人[4] 证明了以 4 类
N 2µ
Cartan 域为底的 Hartogs 域Ω= {(w, z) ∈ C × D : ∥w∥< ND(z, z)} 的最大全纯自同构群. 由于确
定域的最大自同构群的困难性, 有时人们去构造域的全纯自同构子群. 殷慰萍等人[5] 给出了华罗庚域
的全纯自同构群的一个子群. Xu 等人[6] 给出正规 Siegel 域在固定点处的最大连通迷向子群. Liu 和
m1 ms k n1 nt p1
Tang 给出了 Egg 域 Bp,q = {(z, . . . , ζ, w, ξ, . . . , η) ∈ C ×· · ·×C ×C ×C ×· · ·×C : |z1| +· · ·+
| |p1 · · · | |ps · · · | |ps | |2 · · · | |2 | |q1 · · · | |q1 · · · | |qt · · · | |qt }
zm1 + + ζ1 + + ζms + w + + wk + ξ1 + + ξn1 + + η1 + + ηnt < 1 ,
0 < p1 < · · · < ps < 2 < q1 < · · · < qt < ∞在原点处的最大迷向子群.
我们考虑更一般的情形, 研究一类以有界对称域为底的 Bergman-Hartogs 型域, 给出它的全纯自
同构群, 并证明给出的全纯自同构群是最大自同构群. 首先, 我们给出以有界对称域为底的 Bergman-
Hartogs 型域的定义.
英文引用格式: Pan L S, Wang A. The holomorphic automorphism group of the domains of the Bergman-Hartogs type (in Chinese).
Sci Sin Math, 2015, 45: 31–42, doi: -00005
潘利双等: Bergman-Hartogs 型域的全纯自同构群
n m+n
设 D 是 C 中的有界对称域, KD(z, z) 是 D 上的 Bergman 核函数. 定义 C 中 Bergman-
Hartogs 型域为
m1 mr 2p1 2pr −q
Ω= {(