文档介绍：数值模拟导论-第十讲改进的牛顿法雅克比·怀特感谢Deepak Ramaswamy, Jaime Peraire, MichalRewienski, and Karen Veroy概要阻尼牛顿定律—若雅可比矩阵是非奇异矩阵,则全局收敛—奇异雅可比矩阵收敛非常困难介绍连续定律—源/载荷步问题更通用的连续定律牛顿算法求解F(x)=0多维牛顿法牛顿算法SMA-HPC ?2003 MIT00xk==初始给定值,重复{()()()( ) ()()1111,lim1kkFkkk k kFkk kFx J xJxx x Fx xxx xkk++++?=?=+ ?=+计算解方程 求得}直到()11kkxfx++? 足够小极限牛顿法阻尼牛顿定律SMA-HPC ?2003 MIT一般阻尼定律()()1111kk k kFkkkkJxx Fx xxx xα+++?=??=+?+解方程 求解主要思想:线性搜索()()()()21221112kkkkTkkk kkk kkkFx xFx x Fx x Fx xααααα+++++?+?≡+?+?找出使得 取极小值该法在牛顿收敛方向执行一维搜索极限牛顿法阻尼牛顿收敛定律SMA-HPC ?2003 MIT()() ()(]()()()111a) ( )) ( Lipschitz Cont)0,1 1kFFFkkkkkkJxbJxJylxyFx Fx x Fxβααγγ?++≤?≤?∈=+?< <如果反之不成立导数为那么存在一些列使得其中每进行一步迭代则减小了F——全局收敛性极限牛顿法阻尼牛顿法SMA-HPC ?2003 MIT实例101010dtrrVVdsIVIIe?=????=????节点方程:()()() 1 010vvfv e?????=+ ?=????SMA-HPC ?2003 MIT疑问解答续方阵极限牛顿法阻尼牛顿法实例继续极限牛顿法嵌套迭代SMA-HPC ?2003 MIT=初始值,0x0k=重复{()()() ()()11111,1kkFkk k kFkkkkkkkkFx J xJxx Fx xFx xxx xkkααα+++++?=??+?=+?=+计算解方程 求得找出使得 取极小值}()11,kkxFx++?直到 足够小为止如何求阻尼系数?极限牛顿法阻尼牛顿定律SMA-HPC ?2003 MIT定理证明通过定义牛顿迭代()()11kkkk kFxxJxFxα?+=????????牛顿方向多维均值迭代() () ()( )22FlFxFyJyxy xy???≤?综合以上( ) () () () ()() ()21112kkkkkkkkkFF FlFx Fx J x J x Fx J x Fxαα??+???? ≤????SMA-HPC ?2003 MIT极限牛顿法阻尼牛顿定律定理进一步证明由上述证明( ) () () () ()() ()21112kkkkkkkkkFF FlFx Fx J x J x Fx J x Fxαα??+???? ≤????化简上式,将移到范数符号外得()2kα()( )()() () ()221112kkkkkkkFlFx Fx J x Fxααα?+?? ≤利用雅可比矩阵的极限并分解范数得()()()()()222112kkkkklFx Fx Fxβαα+??≤?+????得出关于阻尼系数的二次方程