文档介绍：第二章函数
§1 函数概念
:
(1) ;
(2) ;
(3) .
证明(1)由,得到
,
在该式中用与互换,得到,即
,
由此即得,.
(2)当时,不等式分别为,显然成立.
假设当时,不等式成立,即,则当时,有
有数学归纳法原理,原不等式成立.
(3)
.
.
证明由不等式,两边加上后分别提取公因式得,
,
即.
;
.
证明若,则由于,故有
,,
若,则由于,故亦有
,,
因此两等式均成立.
,它们之间的夹角为,试求此三角形的面积,并求其定义域.
解,定义域为开区间.
,试将圆柱的体积表为其高的函数,并求此函数的定义域.
解设内接圆柱高为,则地面半径为,因而体积
,
定义域为开区间.
,票价规定如下:乘坐以下(包括)者收费1元;超过但在以下(包括)者收费2元;其余收费2元5角. 试将票价表为路程的函数,并作出函数的图形.
解设路程为,票价为,则
函数图形见右图.
,且三个角分别有对应关系
,,,求,并作出函数的图形.
解
函数图形如右图所示.
:
(1);
(2);
(3);
(4).
解(1)定义域为,由于,有,且有
,
即得是偶函数.
(2)定义域为,由于,有,且有
,
因此,是奇函数.
(3)定义域为,由于,有,且有
,
即是偶函数.
(4)定义域为,由于,有,且有
因此,是奇函数.
,若是,试求其周期:
(1);
(2);
(3);
(4).
解(1),设周期为,则,有,即,移项并使用三角公式化简得,,由的任意性知道这是不可能的,故不是周期函数.
(2).
(3).
(4)定义域是使的一切的取值,即,由于,必有,且,因此是周期函数,周期为.
.
证明实际上,,都有
,
由定义,在有界.
,并证明在无界.
解叙述:若,使得,则称函数在无界.
,要使,只须,取,则有
,所以在无界.
,两个奇函数的乘积是偶函数,一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数.
证明设是定义于偶函数,
,
,
,
知两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数.
,证明可分解成奇函数和偶函数之和.
证明由于的定义域为,故有意义.
令,,则是偶函数,是奇函数,且有.
:在上
(1) 不是奇函数;
(2) 不是单调上升函数;
(3) 无零点;
(4) 无上界.
解(1),使得,则在不是奇函数;
(2),虽然,但,则在不是单调上升函数;
(3),均有,则在无零点;
(4),使得,则在无上界.
§2 复合函数与反函数
,求证.
证明定义域为的一切实数,因此,有
.
:
(1) ;
(2) ;
(3)
解(1)变形为,解得,
由于成立,因此函数,的反函数为.
(2)变形得,,解出,即,因此原来函数的反函数为.
(3)当时,,当时,,而当时,.所以反函数为
定义域为.
,为实轴上的单调函数,求证也是实轴上的单调函数.
证明设,为实轴上的单调增函数,即,且有,因此,即也是单调增函数.
同理可证:当,为实轴上的单调减函数时,也是单调增函数;当为增函数,而为减函数或为减函数,而为增函数时,均为减函数.
因此,,为实轴上的单调函数时,也是实轴上的单调函数.
,
求复合函数,.
解有复合函数的定义,立即可得
,求.
解,归纳法假设
,
则有
,
依归纳法原理,知.
,试求.
解, ,
归纳法假设,则当时,有
所以,
,求,,.
解定义域的一切实数,要求且,因此
,且;
要求且,,因此
,,且;
要求且,因此
,且.
§3 初等函数
,奇偶性,周期性,有界性,并作出函数的图形:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) .
解(1)定义域,值域,是偶函数,无界非周期函数;
(2)定义域,值域,既非奇函数也非偶函数,是周期为1的有界周期函数;
(1)题图(2)题图
(3)定义域,值