高等数学 第一章函数与极限教案.doc

文档介绍：函数与极限
§ 映射与函数
: 设A,B是任意两个集合,
.
. 例如
.
,,点的邻域:
或
或
记为.
:
或
或
记为.
:
.
:
.
,在值域中有唯一的实数与之对应,记作
, ,
其中称为自变量,称为因变量.
: 通常指使得函数算式有意义的一切实数组成的集合.
:

:
:
.
其中表示不超过的最大整数. 例如,,,.
③.解: 令,得
或,
即定义域为
.
.
.
解: 令得即定义域为
.
.
.
解: 令,得
或,
即定义域为
或
或.
: 设的定义域为,数集.
①.如果存在数,使得
,
对任一都成立,则称在上有上界,而为在上的一个上界.
②.如果存在数,使得
,
对任一都成立,则称在上有下界,为在上的一个下界.
③.如果存在正数,使得
,
对任一都成立,则称在上有界.
④.如果对于任何正数,总存在,使得
,
则称在上无界.
: 设的定义域为,区间.
①.如果对于区间上任意两点及,当时,恒有
,
则称在区间上是单调增加的.
②.如果对于区间上任意两点及,当时,恒有
,
则称在区间上是单调减少的.
: 设函数的定义域关于原点对称,
①.如果对于任一,
恒成立,则称为奇函数.
②.如果对于任一,
恒成立,则称为偶函数.
,值域为,如果是一一映射,则存在逆映射: ,即对于任意,有唯一的,使得,称为的反函数,记作
, .
,值域为; 函数的定义域为,值域为,且,则由下式确定的函数
,,
称为由与构成的复合函数. 自变量,中间变量,因变量.
④.解: .
,.
:
①.幂函数(为实数).
②.指数函数,特例.
③.对数函数,特例.
④三角函数
,,
,,
,.
⑤反三角函数
,,
, .
: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.

①双曲正弦.
②双曲余弦.
③双曲正切.
§ 数列的极限
,对每个,对应着一个确定的数,这些实数按照下标从小到大排列得到的一个序列

叫做数列,简记为数列,数列中的每一个数叫做数列的项,第项叫做数列的一般项.
一般地,数列可看作自变量为正整数的函数:
,.
当自变量依次取1,2,3,…一切正整数时,对应的函数值就排成数列.
例如.①;
②;
③;
④;
⑤
.
当无限增大时(即时),对应的项无限接近于某个确定的数值,称常数是数列的极限. 无限接近于是什么含意? 考察数列