文档介绍：课题:46两角和与差的正弦、余弦、正切(7)
教学目的:
引导学生综合运用复角的正弦、余弦公式.
教学重点:复角公式的运用和技能的提高
教学难点:灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
、余弦公式
2推导公式:
由于
sin2θ+cos2θ=1
(1)若令=sinθ,则=cosθ
∴asinα+bcosα=(sinθsinα+cosθcosα)=cos(θ-α)
或=cos(α-θ)
(2)若令=cos,则=sin
∴sinα+bcosα=(sinαcos+cosαsin)=sin(α+)
例如:2sinθ+cosθ=
若令cos=,则sin=
∴2sinθ+cosθ=(sinθcos+cosθsin)=sin(θ+)
若令=sinβ,则=cosβ
∴2sinθ+cosθ=(cosθcosβ+sinθsinβ)=cos(θ-β)或
=cos(β-θ)
看来,sinθ+bcosθ均可化为某一个角的三角函数形式,且有两种形式
二、讲解范例:
例1(辅助角)函数的最小值
解:
例2(角变换)已知
解:
例3(公式逆用)计算:(1 +)tan15°-
解:原式= (tan45°+ tan60°)tan15°-
=tan105°(1-tan45°tan60°)tan15° -
= (1 -) tan105° tan15° -= (1 -)×(- 1)-= - 1
例4(角变换)已知sin(45° - a) = ,且45° < a < 90°,求sina
解:∵45° < a < 90° ∴-45° < 45°-a < 0° ∴cos(45°-a) =
cos2a = sin(90°-2a) = sin[2(45°-a)]
= 2sin(45°-a)cos(45°-a) =
即 1 - sin2a = , 解之得:sina =
例5已知q是三角形中的一个最小的内角,
且,求a的取值范围
解:原式变形:
即,显然(若,则 0 = 2)
∴
又∵,∴
即解之得:
例6试求函数的最大值和最小值若呢?
解:
则∴
∴
∴
,则,∴
即
例7 已知tana = 3tan(a + b),,求sin(2a + b)的值
解:由题设: 即sina cos(a + b) = 3sin(a + b)cosa
即sin(a + b) cosa + cos(a + b)sina = 2sina cos(a + b) - 2cosasin(a + b)
∴sin(2a + b) = -2sinb 又∵∴sinb ∴sin(2a + b) = -1
三、课堂练习:
1 已知
、均为锐角,求的值.
分析:由于,由已知两式一时得不到与的值,而只能出现与一类的值,例如+ ,得,化简、,固然有路可循,但是还要进一步定出的值的符号才行.
2 已知求的值.
提示:=.
3 已知求证.
分析:比较已知与求证部分,必然要做如下变换为宜:.
解:,
而,注意到,得