文档介绍：量纲分析
数学与信息科学学院
内容大纲
物理量与基本物理量
量纲、基本量纲与导出量纲
量纲齐次与量纲分析
案例1:单摆运动与Pi定理
案例2:波浪对航船的阻力
案例3:原子弹爆炸的能量估计
量纲分析法的评注
案例4:航船阻力的物理模拟
案例5:无量纲化-火箭发射
物理量与基本物理量
物理量: 物理中能测量的量. 如质量、体积、长度等.
基本物理量: 一组物理量, 彼此相互独立, 且其它物理量均是这些物理量的合乎某种规律的组合.
物理量
量纲
单位
符号
长度
L
米
M
质量
M
千克
kg
时间
T
秒
s
电流强度
I
安培
A
温度
开尔文
K
光强
J
坎得拉
cd
物质的量
N
摩尔
mol
量纲
一物理量与基本物理量之间的规定关系,称为该量的量纲。这种规定关系常以基本物理量的幂指乘积形式表示,因此也称为量纲积。即任一物理量的量纲皆可表示成
时间(T)
基本物理量
力学中
质量(M)
长度(L)
力学中,任何物理量
都可以表示为其组合形
式,称这种组合形式为
物理量的量纲。
称为
基本量纲
其中[质量]=[ m ]=M,
[长度]=[ l ]=L,
[时间]=[ t ]=T,
例:
[加速度]=[ a ] =LT-2 ;
因为力 F=ma, 故[ F ]=[ m ][ a ] =MLT-2;
部分物理常数也有量纲,如万有引力定律
中的引力常数K的量纲为
[速度]=[ v ]=[ ] = =LT-1 ;
称为
导出量纲
量纲齐次与量纲分析
量纲齐次: 任一有意义的物理方程中每一个加项的量纲必须是一致的,或者都是无量纲量,且等式两端的量纲一致([左边] = [右边]).
量纲分析: 利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系. 可以用来检验方程或物理规律的正确性, 也可以用来找出隐藏在复杂系统内的内在关系.
单摆运动
l
mg
m
求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
1, 2, 3 为待定系数,为无量纲量
(1)的量纲表达式
对比
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
基本解
设 f(q1, q2, , qm) = 0
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定.
定理(Buckingham)
是与量纲单位无关的物理定律,X1,X2, ,Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, ,qm 的量纲可表为
量纲矩阵记作
线性齐次方程组
有 m-r 个基本解,记作
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
则
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
量纲分析示例:波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g。
m=6, n=3