最速降线验证实验.pptx

文档介绍：一个在点O(0,0)静止的质点在重力作用下,该沿什么轨迹曲线C无摩擦地从点O(0,0)滑到点B(1,1), 才能使所花时间T短?
O(0,0)
A(x,y)
B(1,1)
x
y
C
图1 质点沿曲线C下降
问题描述
耗用时间的计算
用曲线积分
试比较几种不同的曲线
(1)C为直线
(2)C为圆弧
(3)C为抛物线
(4)C为摆线
(1)C为直线
过点O 与点B 的直线方程为
x=y (0≤y≤1)
耗用时间为: T1=
(2)C为圆弧
其中,(a,b)为圆心坐标,r为半径且r≥1。因为圆心必在直线段OB的垂直平分线上,故推得a+b=1,进而得:
过点O与点B的圆弧方程为
此时T是r的函数

2

3






r=,耗时最少:T2=
(3)C为抛物线
过点O与点B的抛物线方程为
x=ay2+(1-a)y , (0≤y≤ 1)
其中,参数a: 0≤a≤1.




1





此时T是a的函数
a=,耗时最少:T3=
(4) C为摆线
过点O与点B的摆线参数方程为
耗时:T4=
结果比较
曲线
耗时
直线
圆弧
抛物线
摆线
T1=
T2=
T3=
T4=
可见,确实是摆线耗时最短,但抛物线也几乎相同.