文档介绍：导数及其应用
考点一:导数概念与运算
(一)知识清单

函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x+)-f(x),比值叫做函数y=f(x)在x到x+之间的平均变化率,即=。如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数,记作f’(x)或y’|。
即f(x)==。
说明:
(1)函数f(x)在点x处可导,是指时,有极限。如果不存在极限,就说函数在点x处不可导,或说无导数。
(2)是自变量x在x处的改变量,时,而是函数值的改变量,可以是零。
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x处的导数的步骤:
(1)求函数的增量=f(x+)-f(x);
(2)求平均变化率=;
(3)取极限,得导数f’(x)=。

函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。相应地,切线方程为y-y=f/(x)(x-x)。
:
①②③; ④;
⑤⑥; ⑦; ⑧.
、差、积的求导法则
法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即: (
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数,即:
若C为常数,:
法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:‘=(v0)。
形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y'|= y'| ·u'|
(二)典型例题分析
题型一:导数的概念及其运算
如果质点A按规律运动,则在t=3 s时的瞬时速度为( )
A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s
变式:定义在D上的函数,如果满足:,常数,
都有≤M成立,则称是D上的有界函数,其中M称为函数的上界.
【文】(1)若已知质点的运动方程为,要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
【理】(2)若已知质点的运动方程为,要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
已知的值是( )
A. B. 2 C. D. -2
变式1:( )
A.-1 B.-2 C.-3
变式2:( )
A. B. C. D.
求所给函数的导数:
变式:设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,>(3)=(x)g(x)<0的解集是( )
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0, 3)
C.(-∞,- 3)∪(3,+∞) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)
题型二:导数的几何意义
已知切点,求曲线的切线方程;
注:此类题较为简单,只须求出曲线的导数,并代入点斜式方程即可.
曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
已知斜率,求曲线的切线方程;
注:此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决.
与直线的平行的抛物线的切线方程是( )
A. B. C. D.
已知过曲线外一点,求切线方程;
此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解.
求过点且与曲线相切的直线方程.
变式1、已知函数的图象在点处的切线方程是,则。
变式2、
考点二:导数应用
(一)知识清单
单调区间:一般地,设函数在某个区间可导,
如果,则为增函数;
如果,则为减函数;
如果在某区间内恒有,则为常数;
:
曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;
:
一般地,在区间[a,b]上连续的函数f在[a,b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ在(a,b)内的极值;
②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b);
③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。

(1)概念:设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<…<xi-1<xi<…xn=b把区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点ξi(i=1,2,…n)作和式In=(ξi)△x(其中△x为小区间长度),把n→∞即△x→0时,和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a,b