文档介绍：平面向量数量积的应用
平面向量的数量积及其性质是平面向量的重点内容,.
一、求向量的长度(模)
求向量的长度的依据是:①;②设,则.
例1 已知,向量与的夹角为,求,.
解:依题意,得,,.
.
同理,.
二、求解两向量的夹角问题
求两非零向量与的夹角的依据是:①;②设,,则.
例2 已知是两个非零向量,且,求与的夹角.
解:设与的夹角为,由,得.
又由,.
而,,
,
,.
三、判断两向量的垂直问题
判断两向量垂直的依据是:①若与为非零向量,则;②设非零向量,,则.
例3 已知,则当实数为何值时,向量与垂直.
解:,
.
,
.
若,则,
.
四、判断多边形的形状
例4在平面四边形中,,,,,
,问该四边形是什么图形?
解:,
,即;同理,.
由题意,显然有;同理,.
四边形是平行四边形.
又.
四边形是矩形.
五、求解最值问题
例5 如图1,在中,已知,若长为的线段以点为中点,问与的夹角取何值时,的值最大?并求出这个最大值.
解法一:如图2,,.
,
.
故当,即(与方向相同)时,的值最大,其最大值为0.
解法二:以直角顶点为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图3所示的平面
直角坐标系.
设,,则,
且,.
设点的坐标为,则.
.
.
,
.
.
故当,即(与方向相同)时,的值最大,其最大值为0.
六、求解探索性问题
例6 已知点和,问能否在轴上找到一点,使,若不能,
请说明理由;若能,求出点坐标.
解:假设存在点使,则.
,
,
.
而在方程中,,
方程无实数解,
故不存在满足条件的点.