文档介绍：函数单调性应用的四个层次
函数的单调性是函数的重要性质之一,也是高中数学学习的一个难点,为了帮助同学们掌握这部分内容,我们可以从以下四个方面入手.
一、正面应用——掌握规范的操作程序
函数的定义是证明函数单调性最基本,最常用的方法.
已知函数,
求证:在区间上是减函数,在区间上为增函数.
分析:二次函数的图象当时开口向上,显然在区间上是减函数,在区间上为增函数.
证明:任取,,且,则
,
由题知,当时,,
.
又,.
故在区间上是减函数.
同理可证在区间上是增函数.
二、逆向应用——培养逆向思维能力
学会概念的逆向使用,对于培养同学们的逆向思维能力是大有好处的.
设是定义在(上的增函数,且满足.
若,且,求实数的取值范围.
解:因为且,所以,又,所以,再由可知, .
又因为是定义在上的增函数,从而有,解得:.
故所求实数的取值范围为.
三、灵活应用——提高解决问题的能力
由函数单调的定义易知,任何一个单调函数,.
例3 ,使得过这两点的直线与轴平行,并证明你的结论.
解:下面证明在上是增函数.
任取,
因为,所以.
所以,即: .
所以在上是增函数.
从而对函数图象上任意两点,当时,, 在函数的图象上不存在两个不同的点,使得过这两点的直线与轴平行.
四、构造应用,培养创造能力
应用单调函数解题的创造性体现在:通过已知条件进行联想,从而发现或构造出单调函数,再利用函数的单调性解题.
例4 已知为实数,且满足,则.
解:由已知条件,可得: .
故若设,则上述条件即为:.
又易知函数在上是增函数,
所以由上式有:,即: .