文档介绍：用空间向量解决立体几何的空间角问题
一、异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为分别是的方向向量,注意到异面直线所成角的范围是,则有.
已知正方形和矩形所在平面互相垂直,.试在线段
上确定一点,使得与所成的角是.
解:如图1,建立空间直角坐标系,则.
设,得.
又和所成的角是,
.
解得或(舍去),即点是的中点.
评议:采用传统的平移法求异面直线所成角的大小,,没有了这些手续,显得便当快捷.
二、直线和平面所成的角
如图2,点在平面外,为内一点,斜线和平面所成的角为,为的一个法向量,注意到斜线和平面所太角的范围是,则有,结合向量的夹角公式便可求.
例2 在正三棱柱中,已知在棱上,
且,若与平面所成的角为,则( )
A. B. C. D.
解:取中点,连结,则,如图3,建立空间直角坐标系,则,则.
平面平面,,
平面.
为平面的一个法向量.
.
,选(D).
评议:利用向量法求空间角,其操作只须按步骤进行,数值计算十分简单,对空间想象力和几何的逻辑推理能力要求不高,显得简洁明了.
三、二面角
如图4,分别在二面角的两个面内且垂直于棱,分别是的一个法向量,则可利用向量的夹角公式结合以下角度关系之一求二面角的大小:
(1)等于二面角的平面角;
(2)与二面角的平面角相等或互补.
例3 如图5,在三棱锥中,是边长为4的正三角形,平面平面,,分别为的中点,求二面角的大小.
解:取中点,连结.
,
,且.
又平面平面,
平面,.
如图5所示,建立空间直角坐标系.
则,,,设为平面的一个法向量,则
取,则.
则.
又为平面的一个法向量,
.
二面角的大小为.
评议:利用向量法求空间角的大小,:1、求平面的垂线的方向向量;
2、利用法向量与平面内两个不共线向量数量积为零列方程组求.