文档介绍：第二讲导数及其应用
导数、微分的概念
例题
,理由如下:
函数在点处可导,即存在
;
但是,极限存在函数在点处可导,
例如在点处,,但是函数在点处不可导.
,理由如下:在可导存在
,故A不对;
.
3.【用特例法】选择D,理由如下:设
,
但是,,在处极限不存在,
故排除A,B,C.
4.【涉及不等式条件的极限问题,通常用夹逼准则】选择C,理由如下:
当时,恒有,故
又,
,即
,故是的可导点,且.
5.,,,
,,,
,
当时,,在处可导.
习题
1.【利用导数定义求增量比的极限】
在点可导,即存在,
故
.
2.【可导必连续】选择B,理由如下:
在处存在左、右导数在点左、右连续在点连续.
3. ,
,,
当时,,在处可导,
当时,,在处不可导.
,理由如下:
在处连续但不可导,不存在,
存在,即存在,
,
故是在处可导的充分条件;
在处可导存在,
即
存在,
故是在处可导的必要条件.
,理由如下:
,
在可导存在
()和()存在且相等
.
6.
由题设知存在,故,,且,故.
如何求曲线的切线、法线方程?
例题
1.【求切线,关键是确定切点与斜率】
,
切点为,斜率为,
故曲线在点处的切线方程为.
,
,
将代入,得切点,切线的斜率,
所求切线方程为,即.
习题
1. ,,切点为,斜率,切点为,
故切线方程为.
2. ,,切点为,斜率,
故切线方程为.
,,将代入上式,得,斜率,
故切线方程为,即.
4. ,;,.
由题设知,,,,
解得,切点为.
5. ,即,
所以曲线在点处切线斜率为.
,故,
所以曲线在点处切线斜率为.
求导公式与法则
如何求函数的导数(或者微分)?
例题
1.【初等函数的导数,熟练掌握求导公式与求导法则】
,
,
,
故.
2.【抽象函数的导数】
,
.
3.【隐函数的一、二阶导数,用两边求导法,注意是的函数】
方程两边对求导,得⑴
将代入⑴,得;
⑴式两边对求导,得
,⑵
将代入⑵,得. .
4.【隐函数的一阶导数,用隐函数求导公式:由方程确定,则】
由确定,
.
5.【参数式的导数,用参数式求导公式】
,.
6.【反函数的导数,利用反函数求导公式和复合函数求导法则】
,
上式两边对求导,;
上式两边再对求导,.
7.【参数式、隐函数的导数】
,,
方程两边对求导,得,
故.
8.【抽象函数、隐函数的导数】
,
,
方程两边对求导,得,⑴
将代入⑴式,得,
⑴式两边对求导,得
,⑵
将代入⑵式,得,
故,.
9.【考查相关变化率】设长方形的对角线为,则,
上式两边对求导,得,即,
将代入上式,得.
习题
1. ,故.
2. ,
,
故.
3.
.
4. ,
5.【考查导数】等式两边对求导,得
,
再对求导,得,
由得,,,
故.
,得,
令,得,即,解得.
7.【考查隐函数的导数】
方程两边对求导,得,
当时,,代入上式,得.
8.【求隐函数一阶导数,用公式法或者两边求导法】
,.
9.【求隐函数二阶导数,用两边求导法】取对数,得,⑴
⑴式两边对求导,得,整理得
,解得,
,⑵
将代入⑵,得.
10.【求参数式二阶导数,用公式法】
,.
11. ,
,
,故
12. ,
上式两边对求导,,代入方程
,得,即
13.【考查参数式求导和微分方程】
,
,
,
令,则,代入上式,得
,,
,
将代入,得,故,即,
,
将代入,得,故.
14.(略)
如何求分段函数的导数
例题
1. 时,,
,
,
故在连续.
2. 时,;
,
故在连续,
又在连续,所以在上连续.
3. ,,
要使在上可导,只要在可导.
在可导在连续,即,
在可导,即,
所以,当时,在上可导.
习题
1. 时,,
,
故