文档介绍：关于一类二次矩阵方程的解的进一步讨论
严益水
(莆田学院数学系指导教师:陈智雄)
摘要:本文首先分析了形如的二次矩阵方程的解结论,及各种形式解之间的关系,,得到该方程具有某一类解的充要条件,并讨论形如的二次矩阵方程,利用合同标准型求出该方程在时的通解。最后,对于一个公开问题即时二次矩阵方程的通解作了初步的讨论.
关键词:二次矩阵方程矩阵可逆矩阵特征值
Abstract: In this paper, basing on analyzing the solutions of a matrix equation of, and the relationship among all forms of its solutions, we obtain some new conclusions of the equation. Then, we discuss the solutions of the matrix equation and obtain a necessary and sufficient condition of a class of solutions. We also discuss the matrix equation ofand obtain the general solutions for this equation whenby applying congruent standard form. Finally, we preliminarily discuss an open problem: the general solutions forif.
Keyword: Quadratic equation matrix Hermite matrix Invertible matrix Eigenvalue
对线性矩阵方程的解的讨论的文献已有很多,但对非线性的二次矩阵方程的解的讨论的文献很少见,本文对形如的矩阵方程的解进行研究。
1、引言
表示体上的阶矩阵的全体
表示阶单位矩阵即
表示的共轭转置
表示阶可逆矩阵的逆
称为域上的矩阵
称为域上的斜矩阵
表示矩阵的秩
、研究的现状
文[1]讨论形如的二次矩阵方程的解,但只给出为非退化矩阵时的解的一类表示式(即利用使得为非退化矩阵的任意矩阵构造的解的表达式),其主要结论如下:
(见[1]定理1) 设为非退化矩阵,为任意矩阵使和均为可逆矩阵,则
,
是方程的解。
(见[1]定理2) 设为可逆矩阵,,为方程的解,且,为可逆矩阵,则存在矩阵,使得与为可逆矩阵且,成立。
(见[1]推论1) 设为可逆矩阵,也可逆,,则存在矩阵,使得。
文[2]对体上形如的二次矩阵方程进行研究,并得到了矩阵方程有解的充要条件及当时的通解。本文主要工具是矩阵的秩分解(即的充要条件是存在非奇异矩阵,使得),其主要结论有:
(见[2]定理1) 设,,且,,其中为可逆阵,则有解的充要条件是,当时矩阵方程的通解为
,
其中为任意的阶非奇异矩阵,,,,为任意矩阵。
(见[2]推论1) 体上二次矩阵方程一定有解,且通解为
,
其中为任意的阶非奇异矩阵,,,,为任意的矩阵。
文[3]把文[1]中形如的二次矩阵方程推广为形如、及的形式,并讨论这几种方程的解。其思想方法与文[1]相同,但其比较好的方面是给出了解的表达式的充要条件,并进一步得到解的这类表达式是唯一的结论,和一定条件矩阵方程、的解的表达式不唯一的结论,其结论有:
(见[3]定理1)设为(或)矩阵,为任意阶矩阵使均为可逆,则
,
或
为方程()的解。
(见[3]推论1) 设为任意阶矩阵使
均为可逆,则
是方程的解。
(见[3]推论2) 设为(或)矩阵,为任意阶矩阵使均为可逆,则
或
为方程的解。
(见[3]定理2) 设为(或)矩阵,已知是方程(或)的解,则存在阶矩阵使均为可逆,且可表示成()或()式的形式的充要条件为为可逆矩阵。
(见[3]推论3) 设是方程的解,则存在阶矩阵使均为可逆,且可表示成()式的形式的充要条件为(或)为可逆矩阵。
(见[3]推论4) 设为(或)矩阵,已知是方程的解,则存在阶矩阵使均为可逆,且可表示成()或()式的形式的充要条件为为可逆矩阵。
(见[3]定理3) 设为(或)矩阵,如果方程、、及的解可分别表示成()、() ()