文档介绍：第30讲双曲线
考情分析
除与椭圆有类同的重点及考点之外,在高考中还经常考查双曲线独有的性质渐近线,以双曲线为载体考查其方程和性质.
命题特点
双曲线类型问题与椭圆类型问题类似,因而研究方法也有许多类似之处,如“利用定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”,问题变得略为复杂和丰富多彩.
1. 双曲线的定义及其应用
例1 在[△ABC中,B(4,0),C(-4,0)],动点[A]满足条件[sinB-sinC=12sinA]时,求点[A]的轨迹方程.
解析设[A]的坐标为[(x,y)],在[△ABC]中,由正弦定理得,[asinA=bsinB=bsinC=2R](其中[R]为[△ABC]外接圆的半径),代入[sinB-sinC=12sinA,]得[AC2R-AB2R=12?BC2R.]又∵[|BC|=8,]∴[|AC|-|AB|=4,]因此[A]的轨迹为以[B,C]为焦点的双曲线的右支(除去右顶点),且[2a=4,2c=8],即[a=2,c=4,b2=c2-a2=12].
所以[A]点的轨迹方程为[x24-y212=1(x>2)].
答案[x24-y212=1(x>2)]
点拨容易用错双曲线的定义,将点[M],一定要注意定义中的限制条件,同时要结合具体问题的实际背景,对所要解决的问题做合理的限制.
2. 双曲线方程的求法
例2 根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)与已知双曲线[x2-4y2=4]有共同渐近线且经过点(2,2);
(2)渐近线方程为[y=±12x],焦距为10;
(3)经过两点[P(-3,27)]和[Q(-62,-7)];
(4)双曲线中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为[2],且过点(4,[-10]).
解析(1)设所求双曲线方程为[x2-4y2=λ],
将(2,2)代入上述方程得,22-4?22=λ.
∴λ=-12.
∴所求双曲线方程为[y23-x212=1].
(2)设所求双曲线方程为[x24-y2=λ],
当λ>0时,双曲线标准方程为[x24λ-y2λ=1],
∴c=[5λ].∴[5λ]=5,λ=5.
当λ<0时,双曲线标准方程为[y2-λ-x2-4λ=1],
∴c=[-5λ].∴[-5λ]=5,λ=-5.
∴所求双曲线方程为[x220-y25=1]或[y25-x220=1].
(3)设双曲线方程为mx2-ny2=1.
∴[9m-28n=1,72m-49n=1,]解得,[m=-175,n=-125.]
∴标准方程为[y225-x275=1].
(4)依题意,[e=2?a=b].
设方程为[x2a-y2a=1],
则[16a-10a=1],解得,[a=6].
∴所求双曲线方程为[x26-y26=1].
点拨求双曲线的标准方程的方法:(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定[2a,2b或2c],从而求出[a2,b2],写出双曲线方程.(2)待定系数法:先确定焦点在x轴还是y轴,设出标准方程,再由条件确定[a2,