向量的概念及表示.doc

文档介绍：向量的概念及表示
一、知识、能力聚焦
1、向量的概念
(1)向量:既有方向,又有大小的量叫做向量。
【注:和量与数量的区别,表示向量的大小称为向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度)】
AB
AB
向量的大小称为向量的长度(或称为模),记作││。
O
(2)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作。
(3)单位向量:长度等于1的向量叫单位向量。
b
a
b
a
(5)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量,若向量和相等,则记作= 。
2、共线向量
共线向量(也称平行向量),应注意两个向量共线但不一定相等,而两个向量相等是一定共线。平面几何的三点共线与两个向量共线不同:首先共线向量不考虑起点,其次明确共线向量分为如下五种情况:(1)方向相同、模相等;(2)方向相同、模不等。(3)方向相反、模相等;(4)方向相反、模不等;(5)零向量和任何向量共线。
例:把平面一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是什么?
OP
解:因任一单位向量的始点移到同一点O时,终点一定落在以O为圆心,半径为1的单位圆上,反过来,单位圆上的任一点P都对应一个单位向量,故构成的图形为一单位圆。
(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
a
b
a
b
a
b
a
b
c
例: 向量、平行,记作// 。
c
向量、、平行,记作// // 。
(6)零向量与任一向量平行
a
a
(7)相反向量:与向量长度相等且方向相反的向量叫做的相反向量。
a
a
a
记为- , 与- 互为相反向量,且规定:零向量的相反向仍是零向量。
AB
DC
例: 在平行四边形ABCD中,向量和向量方向相同
AB
DA
BC
DC
且长度相等; = 。向量和向量长度相等但方向相反,是一对相反向量; =- 。
BC
DA
3、向量的表示
AB
AB
几何法:用有向线段来表示,即用有向线段的起点、终点来表示,如用| |表示长度。
例: 如图,四边形ABCD与ABDE都是平行四边形;
AB
①用有向线段表示与向量相等的向量;
AB
②用有向线段表示与向量共线的向量;
EC
DC
ED
AB
解:①与相等的向量是、、。
EC
DC
ED
AB
②与共线的向量是: 、、。
二、能力、题型设计
b
b
a
c
1、下面5个命题:①向量的模是一个正实数;②若// , // ,
c
a
则// ;③两个相等向量的方向一定是相同的;④两个相反向量的方向一定是相反的;⑤两个平行向量的方向一定是相同或相反的,其中正确的是( D )。

CD
AB
2、下列命题:①两个有共同起点且相等的向量,共终点可能不同;②若非零向量与是共线向量,则A、B、C、D四点共线;③若a//b且b//c;④四边形ABCD是平行四边
CD
AB
形的条件是= ,真命题的个数为(C)。

EF
CB
DA
b
BE
AE
BE
AE
FD
DA
b
AE
FD
b
a
b
FC
a
CB
FD
EF
AE
DA
BE
CB
FC
3、如图所示,在矩形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,且AB边长为4,AD边长为2,图中的7个向量: 、、、、、、,设= 、= ,则:(1)与相等的向量有;(2)与相等的向量有;(4)与共线的向量有、、;(5)与长度相等的向量有、、、、、。
4、某人从A出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点。
DA
CD
BC
AB
(1)作出向量、、(1cm表示200m);(2)求的模。
解:(1) (2)由题意知,ABCD为平行四边形;
DA
BC
∴| |=| |=450(m)
向量的线性运算
一、知识、能力聚焦
1、向量的加法
(1)向量的加法的定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法。
a
OB
AB
OA
b
OB
a
a
b
AB
a
OA
a
b
例: 已知向量和,在平面内任取一
b
点O,作= , = ,则向量
b
叫做与的和,记作+ ,
即+ = + = 。
o
a
a
a
a
a
o
o
a
a
a
(2)根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则。位移的合成可以看成向量加法三解形法则的物理模型,对于零向量和任一向量,有+ = + = ,对于相反向量有+(- )=