文档介绍：第三篇代数系统
信息科学与工程学院王新红
5-3 半群和独异点
半群是一种特殊的代数系统,它在形式语言、自动机等领域都有具体的应用。
广群、半群与独异点的定义
*半群和独异点的性质
18371123@
5-3 半群和独异点
广群、半群与独异点的定义
定义5- 一个代数系统<S,*>,其中S是非空集合,*是S上的一个二元运算,如果运算*是封闭的,则称代数系统<S,*>为广群。
定义5- 一个代数系统<S,*>,其中S是非空集合,*是S上的一个二元运算,如果:(1)运算*是封闭的(2)运算*是可结合的,即对任意的x,y,zS,满足(x*y)*z=x*(y*z)则称代数系统<S,*>为半群。
定义5-(含幺半群,单位半群)
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5-3 半群和独异点
半群和独异点的性质
定理5- 设<S,*>是一个半群,BS且*在B上是封闭的,那么<B,*>也是一个半群。
通常称<B,*>是<S,*>的子半群。
定理5- 设<S,*>是一个半群,
如果S是一个有限集,
则必有aS,使得a*a=a.
即有限半群必有等幂元。
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5-3 半群和独异点
半群和独异点的性质
定理5- 设<S,*>是一个独异点,则关于运算*的运算表中任何两行或两列都是不相同的。
定理5- 设<S,*>是一个独异点,对于任意的a,bS,且a,b均有逆元,则
a)(a-1)-1=a
b) a*b有逆元,且(a*b)-1=b-1*a-1
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5-4 群和子群
群
有限群、无限群、置换群、等幂元
群的性质
子群
子群的性质
子群的判别
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5-4 群和子群
群的定义
定义5- 设<G,*>是一个代数系统,其中G是非空集合,*是G上的一个二元运算,如果
(1)运算*是封闭的.
(2)运算*是可结合的
(3)存在幺元e。
对于每一个元素xG,存在着它的逆元。
则称代数系统<G,*>是一个群。
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5-4 群和子群
至此,我们可以概括地说:
广群仅仅是一个具有封闭二元运算的非空集合;
半群是一个具有结合运算的广群;
独异点是具有幺元的的半群;
群是每个元素都有逆元的独异点。即有
{群} {独异点} {半群} {广群}
具有一个二元运算的代数系统
广群
半
群
独异点
群
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5-4 群和子群
群的性质
定理5- 群中不可能有零元。
定理5- (群方程存在唯一解)设<G,*>是一个群,对于a,b  G,必存在唯一的x  G,使得a*x=b;存在唯一的y  G,使得y*a=b。
定理5- (消去律)设<G,*>是一个群,对于a,b,c  G,如果有 a*b=a*c或者 b*a=c*a ,则必有b=c。
定理5- 群<G,*>的运算表中的每一行或每一列都是G的元素的一个置换。
定理5- 在群<G,*>中,除幺元e外,不可能任何有别的等幂元。
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5-5 阿贝尔群和循环群
阿贝尔群
定义5- 如果群<G,*>中的运算*是可交换的,则称该群为阿贝尔群,或称交换群。
循环群
定义5- 设<G,*>为群,若在G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都由a的幂组成,则称该群为循环群,元素a称为循环群G的生成元。
循环群的性质
定理 5- 任何一个循环群必定是阿贝尔群。
定理 5- 设<G,*>是一个由元素a G生成的有限循环群。如果G的阶数是n,即|G|=n,
则 an=e ,且G={a,a2,a3,…,an-1,an=e}
其中,n是使an=e的最小正整数。(称n为元素a的阶)
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