文档介绍：2011年全国各地中考数学真题分类汇编—矩形、菱形与正方形
1. (2011福建福州,21,12分)已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.
(1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长;
(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,→→→停止,点自→→→,
①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.
②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.
图10-1
图10-2
备用图
【答案】(1)证明:①∵四边形是矩形
∴∥
∴,
∵垂直平分,垂足为
∴
∴≌
∴
∴四边形为平行四边形
又∵
∴四边形为菱形
②设菱形的边长,则
在中,
由勾股定理得,解得
∴
(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,、点在上时,才能构成平行四边形
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,
∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒
∴,
∴,解得
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.
②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.
分三种情况:
i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得
ii)如图2,当点在上、点在上时,, 即,得
iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得
综上所述,与满足的数量关系式是
图1
图2
图3
2. (2011广东广州市,18,9分)
如图4,AC是菱形ABCD的对角线,点E、F分别在边AB、AD上,且AE=AF.
求证:△ACE≌△ACF.
图4
A
B
C
D
E
F
【答案】∵四边形ABCD为菱形
∴∠BAC=∠DAC
又∵AE=AF,AC=AC
∴△ACE≌△ACF(SAS)
3. (2011山东滨州,24,10分)如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点
F,连接AE、AF。那么当点O运动到何下时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论。
(第24题图)
【答案】
当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,
四边形AECF是矩形………………2分
证明:∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2,………………3分
又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,∴EO=CO. ………………5分
同理,FO=CO………………6分
∴EO=FO
又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形………………7分
又∵∠1=∠2,∠4=∠5,
∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°
∴∠2+∠4=90°………………9分
∴四边形AECF是矩形………………10分
4. (2011山东济宁,22,8分)数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图,正方形的边长为,为边延长线上的一点,为的中点,的垂直平分线交边于,,与的比值是多少?
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过作直线平行于交,分别于
,,如图,则可得:,因为,,进而可求得与的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究,?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.
(第22题)
(1)解:过作直线平行于交,分别于点,,
则,,.
∵,∴. 2分
∴,.
∴. 4分
(2)证明:作∥交于点, 5分
则,.
∵,
∴.
∵,,
∴.∴. 7分
∴. 8分
(第22题)
5. (2011山东威海,24,11分)如图,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到△MNK.
(1)若∠1=70°,求∠MNK的度数.
(2)△MNK的面积能否小于?若能,求出此时∠1的度数;若不能,试说明理由.
(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大?请你利用备用图探究可能出现的情况,求出最大值.
(备用图)
【答案】解:∵ABCD是矩形,
∴AM∥DN,
∴∠KNM=∠1.
∵∠KMN=∠1,
∴∠KNM=∠KMN.
∵∠1=70°,
∴∠KNM=∠KMN=70°.
∴∠MNK=40°.
(