文档介绍：A
B
C
D
E
F
O
P
证明:∵∠AEP=∠AOE=90°,∠EAP=∠OAE
∴△AOE∽△AEP
∴,得AE2=AO·AP即2AE2=2AO·AP
又AC=2AO
∴2AE2=AC·AP
15. (2011广东株洲,23,8分)如图,矩形ABCD中,点P是线段AD上一动点,O为BD的中点, PO的延长线交BC于Q.
(1)求证: OP=OQ;
(2)若AD=8厘米,AB=6厘米,P从点A出发,以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t秒,请用t表示PD的长;并求t为何值时,四边形PBQD是菱形.
【答案】(1)证明:四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠PDO=∠QBO,又OB=OD,∠POD=∠QOB,
∴△POD≌△QOB,
∴OP=OQ。
(2)解法一: PD=8-t
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,
∵AD=8cm,AB=6cm,∴BD=10cm,∴OD=5cm.
当四边形PBQD是菱形时, PQ⊥BD,∴∠POD=∠A,又∠ODP=∠ADB,
∴△ODP∽△ADB,
∴,即,
解得,即运动时间为秒时,四边形PBQD是菱形.
解法二:PD=8-t
当四边形PBQD是菱形时,PB=PD=(8-t)cm,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,在RT△ABP中,AB=6cm,
∴, ∴,
解得,即运动时间为秒时,四边形PBQD是菱形.
16. (2011江苏苏州,28,9分)(本题满分9分)如图①,小慧同学吧一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l1上,OA边与直线l1重合,然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°,此时点O运动到了点O1处,点B运动到了点B1处;小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°,点A运动到了点A1处,点O1运动到了点O2处(即顶点O经过上述两次旋转到达O2处).
小慧还发现:三角形纸片在上述两次旋转过程中,顶点O运动所形成的图形是两段圆弧,即弧OO1和弧O1O2,顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和,并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.
小慧进行类比研究:如图②,她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上,OA边与直线l2重合,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1处,点B运动到了点B1处;小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°,……,按上述方法经过若干次旋转后,她提出了如下问题:
问题①:若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转,求顶点O经过的路程,并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积;若正方形OABC按上述方法经过5次旋转,求顶点O经过的路程;
问题②:正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转,顶点O经过的路程是π?
请你解答上述两个问题.
【答案】解问题①:如图,正方形纸片OABC经过3次旋转,顶点O运动所形成的图形是三段弧,即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3,
∴顶点O运动过程中经过的路程为
.
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为
=1+π.
正方形OABC经过5次旋转,顶点O经过的路程为
.
问题②:∵方形OABC经过4次旋转,顶点O经过的路程为
∴π=20×π+π.
∴正方形纸片OABC经过了81次旋转.
17. (2011江苏泰州,24,10分)如图,四边形ABCD是矩形,直线L垂直平分线段AC,垂足为O,直线L分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F.
(1)△ABC与△FOA相似吗?为什么?
(2)试判定四边形AFCE的形状,并说明理由.
【答案】(1),所以AF=FC,∴∠FAC=∠ACF,又∵∠ABC=∠AOF=90°,∴△ABC∽FOA.
(2)四边形AFCE是菱形。理由:∵AE∥CF,∴∠EAO=∠FCO,又∵AO=CO,∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,∴AE=CF,又AE∥CF,∴四边形AFCE为平行四边形,又AF=FC,所以平行四边形AFCE为菱形.
18. (2011江苏泰州,28,12分)在平面直角坐标系xoy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D都在第一象限.
(1)当∠BAO=45°时,求点P的坐标;
(2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在