文档介绍：【解】(1) 假设当m=10时,存在点P使得点Q与点C重合(如下图),
∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°,∴∠APD+∠BPC=90°,
又∠ADP+∠APD=90°,∴∠BPC=∠ADP,
又∠B=∠A=90°,∴△PBC∽△DAP,∴,
∴,∴或8,∴存在点P使得点Q与点C重合,出此时AP的长2 或8.
(2) 如下图,∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠BPQ=∠ADP,∴∠BAC=∠ADP,又∠B=∠DAP=90°,∴△ABC∽△DAP,∴,即,∴.
∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠B=∠B,∴△PBQ∽△ABC,,即,∴.
(3)由已知 PQ⊥PD,所以只有当DP=PQ时,△PQD为等腰三角形(如图),
∴∠BPQ=∠ADP,又∠B=∠A=90°,∴△PBQ≌△DAP,
∴PB=DA=4,AP=BQ=,
∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为:S四边形PQCD= S矩形ABCD-S△DAP-S△QBP=
==16(4<≤8).
30. (2011贵州贵阳,18,10分)
如图,点E是正方形ABCD内一点,△CDE是等边三角形,连接EB、EA,延长BE交边AD于点F.
(1)求证:△ADE≌△BCE;(5分)
(2)求∠AFB的度数.(5分)
(第18题图)
【答案】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADC=∠BCD=90°,AD=BC.
∵△CDE是等边三角形,
∴∠CDE=∠DCE=60°,DE=CE.
∵∠ADC=∠BCD=90°,∠CDE=∠DCE=60°,
∴∠ADE=∠BCE=30°.
∵AD=BC,∠ADE=∠BCE,DE=CE,
∴△ADE≌△BCE.
(2)∵△ADE≌△BCE,
∴AE=BE,
∴∠BAE=∠ABE.
∵∠BAE+∠DAE=90°,∠ABE+∠AFB=90°,∠BAE=∠ABE,
∴∠DAE=∠AFB.
∵AD=CD=DE,
∴∠DAE=∠DEA.
∵∠ADE=30°,
∴∠DAE=75°,
∴∠AFB=75°.
31. (2011广东肇庆,20,7分)如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连接EB、ED.
(1)求证:△BEC≌△DEC;
(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB = 140°,求∠AFE的度数.
A
B
C
D
E
F
【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形∴CD=CB,
∵AC是正方形的对角线∴∠DCA=∠BCA
又 CE = CE ∴△BEC≌△DEC
(2)∵∠DEB = 140°
由△BEC≌△DEC可得∠DEC =∠BEC=140°¸2=70°,
∴∠AEF =∠BEC=70°,
又∵AC是正方形的对角线, ∠DAB=90° ∴∠DAC =∠BAC=90°¸2=45°,
在△AEF中,∠AFE=180°— 70°— 45°=65°
32. (2011广东肇庆,22,8分)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若∠ACB=30°,菱形OCED的面积为,求AC的长.
A
B
C
D
E
O
【答案】解:(1)证明:∵DE∥OC ,CE∥OD,∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形∴ AO=OC=BO=OD
∴四边形OCED是菱形.
A
B
C
D
E
O
图8
F
(2)∵∠ACB=30° ∴∠DCO = 90°— 30°= 60°
又∵OD= OC, ∴△OCD是等边三角形
过D作DF⊥OC于F,则CF=OC,设CF=,则OC= 2,AC=4
在Rt△DFC中,tan 60°= ∴DF=FC× tan 60°
由已知菱形OCED的面积为得OC× DF=,即,
解得=2, ∴ AC=4´2=8
33. (2011湖北襄阳,25,10分)
如图9,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A,B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE,PE交边BC于点F,连接BE,DF.
(1)求证:∠ADP=∠EPB;
(2)求∠CBE的度数;
(3)当的值等于多少时,△PFD∽△BFP?并说明理由.
图9
【答案】
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠PBC=90°,AB=AD,∴∠ADP+∠APD=90° 1分
∵∠DPE=90° ∴∠APD+∠EPB=90°
∴∠ADP=∠EPB. 2分
(2)过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G,则∠EGP=∠A=90° 3分
又∵∠ADP=