文档介绍：拉梅公式的推导和应用
——平面弹性变形问题
1° 引言
拉梅公式在工程力学中具有重要地位,尤其是在解决弹性力学的平面问题时,不失为一种理想的数学模型。
前一部分给出拉梅公式的数学推导,用到了极坐标下的四类基本方程,即平衡方程,几何方程,本构方程,和变形协调方程。根据平面轴对称问题简化四类基本方程。再联合平面轴对称问题下的应力函数,得到平面应力问题的解。最后,根据厚壁问题的边界条件得到拉梅公式。
后一部分介绍了拉梅公式在工程上的具体应用实例,并给出具体的数值计算。
2° 拉梅公式的推导
弹性理论是一类偏微分方程的边界问题[1]。所以边界的选择决定着工程问题求解的难以。一般要求坐标轴与受力物体的边界相重合,因此对于圆形、环形、楔形或者带小孔的受力物体选用极坐标会更容易解决问题。
四类基本方程:
平衡方程:平面上的平衡方程的柱坐标不含z变量:
几何方程:
本构方程:
协调方程:
极坐标应力公式
可以看到应力张量第一不变量与坐标选择无关。
⑴
平面轴对称问题
平面轴对称问题中,应力不仅与z无关,而且与θ无关,因此,由公式⑴可得柱坐标下的正应力为:
⑵
对于环向闭合的圆域或、环域,或者平板上的圆孔,θ方向上位移υ的单值条件要求B值为零。即B=0,
⑷