线性代数-ppt课件.ppt

文档介绍：§ 高斯消元法.
用高斯消元法解线性方程组,这一过程可在方程组的
系数矩阵或增广矩阵上实现,将系数矩阵或增广矩阵
行阶梯形矩阵:
可画出一条阶梯线,其下方全部为 0,
每个台阶只有一行,台阶数为非零行
的行数,
阶梯线后面的第一个元素为
非零元.
化为行阶梯形矩阵,再进一步化为行最简形矩阵。
行简化阶梯形矩阵:
每个非零行的第一个非零元为1,
而且该非零元所在列的其余元素
全为0.
将增广矩阵(A b)化为阶梯形矩阵时,其形式不唯一,
但非零行的行数唯一.
所用步骤:
(1)交换两行;
(2)某一行乘以非零数 k;
(3)将某一行乘以数 k 加到另一行上.
当未知数的个数大于有效方程的个数(即行阶梯形矩阵
中非零行的行数)时,有自由未知量,自由未知量可以
取任意值.
自由未知量的选取不是唯一的,但其个数
是唯一的.
一般取每个非零行的第一个非零元对应的未知量为基本
未知量,其余的为自由未知量.
例. 求解线性方程组
解:
这一行说明有矛盾
方程,故无解!
不相容方程组:
含有矛盾方程从而无解的方程组
相容方程组:
有解的方程组
若方程组为齐次方程组,那么
方程组一定有解.
(I)
若 r = n, 则方程组有唯一解:
(II)
若 r < n, 则方程组有无穷多解:
取
可得方程组的解为
特别地,若齐次方程组中方程的个数小于未知数的个数,
那么方程组一定有无穷多解.